сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

До­ка­жи­те, что при n  =  6002 сумма би­но­ми­аль­ных ко­эф­фи­ци­ен­тов с шагом 6, то есть C_n в сте­пе­ни 1 плюс C_n в сте­пе­ни 7 плюс ... плюс C_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , дает оста­ток 1 при де­ле­нии на 3. Где C_n в сте­пе­ни k  — ко­ли­че­ство спо­со­бов вы­брать из n пред­ме­тов k, что со­став­ля­ет  дробь: чис­ли­тель: n!, зна­ме­на­тель: k! левая круг­лая скоб­ка n минус k пра­вая круг­лая скоб­ка ! конец дроби , если 0 мень­ше или равно k мень­ше или равно n и 0 в осталь­ных слу­ча­ях.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Легко про­ве­рить, что

C_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка =C_n минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 C_n минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 C_n минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс C_n минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка

сле­до­ва­тель­но, C_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка даёт такой же оста­ток при де­ле­нии на 3, что и C_n минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс C_n минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка . Таким об­ра­зом,

C_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс C_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс C_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

даёт такой же оста­ток при де­ле­нии на 3, что и

C_n минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс C_n минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс C_n минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс C_n минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка

(здесь от­бро­ше­ны два край­них сла­га­е­мых, рав­ные 0). Обо­зна­чим эту сумму за S_n минус 3 . Ана­ло­гич­но пе­ре­хо­дим к

2 C_n минус 6 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 C_n минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс 2 C_n минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 C_n минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 S_n минус 6 .

При­ме­нив эту про­це­ду­ру ещё 1998 раз, по­лу­ча­ем, что фор мула из усло­вия даёт такой же оста­ток при де­ле­нии на 3 , что и

2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1999 пра­вая круг­лая скоб­ка S_2=4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 999 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2 C_2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1000 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что даёт оста­ток 1 при де­ле­нии на 3.


Аналоги к заданию № 791: 882 Все