Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим сто­ро­ну квад­ра­та через а. Пусть пря­мая от­се­ка­ет от сто­ро­ны квад­ра­та AD от­ре­зок (см. ри­су­нок). По­лу­чив­ша­я­ся кон­фи­гу­ра­ция сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но пря­мой PR. С дру­гой сто­ро­ны, квад­рат A₁B₁C₁D₁ по­лу­чен из квад­ра­та ABCD путем по­во­ро­та от­но­си­тель­но цен­тра квад­ра­та. Тогда По­это­му пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AQP, MBN, NC₁R, QD₁M равны.

Таким об­ра­зом, пло­щадь по­лу­чив­шей­ся фи­гу­ры равна сумме пло­ща­дей пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции PD₁C₁R и двух рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков AQP и MBN. Пло­щадь тра­пе­ции равна Зна­чит, нам нужно найти мак­си­маль­ную пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AQP, пе­ри­метр ко­то­ро­го равен Но мак­си­маль­ная пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с за­дан­ным пе­ри­мет­ром будет у рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка.

Это не­об­хо­ди­мо до­ка­зать. На­при­мер, обо­зна­чив ка­те­ты тре­уголь­ни­ка a и b, а ги­по­те­ну­зу c, за­пи­шем пе­ри­метр Ис­поль­зуя не­ра­вен­ство Коши,

по­лу­ча­ем, что при­чем ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся тогда и толь­ко тогда, когда Можно также сде­лать этот вывод из чисто гео­мет­ри­че­ских со­об­ра­же­ний: если в пря­мой угол ABC впи­сать окруж­ность ра­ди­у­са то эта окруж­ность будет внев­пи­сан­ной для всех пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков с пе­ри­мет­ром P и ка­те­та­ми BX и BY рас­по­ло­жен­ны­ми на сто­ро­нах угла. Так как пе­ри­метр задан, то наи­боль­шая пло­щадь будет у тре­уголь­ни­ка с наи­боль­шим ра­ди­у­сом впи­сан­ной окруж­но­сти. А этот ра­ди­ус будет мак­си­маль­ным, когда впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся внев­пи­сан­ной (если ра­ди­ус будет боль­ше, то эти две окруж­но­сти пе­ре­се­кут­ся, что не­воз­мож­но), то есть когда тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный.

Итак, Тогда от­ку­да и пло­щадь QPA равна

Зна­чит, ис­ко­мая пло­щадь есть

 

Ответ:

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть сто­ро­на квад­ра­та равна a, и пря­мая от­се­ка­ет от сто­ро­ны квад­ра­та AD от­ре­зок Найдём AQ. Обо­зна­чим По­сколь­ку из тре­уголь­ни­ка PRS (здесь S это про­ек­ция точки R на ос­но­ва­ние AD) на­хо­дим то и Сле­до­ва­тель­но, ка­те­ты пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков равны x и От­ку­да ис­ко­мая пло­щадь равна С по­мо­щью про­из­вод­ной можно по­лу­чить, что мак­си­мум функ­ции до­сти­га­ет­ся при что со­от­вет­ству­ет углу

 

Ответ: