РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 774 Добавить в вариант

Стaрший коэффициент квaдрaтного трёхчленa f(x) рaвен 1. Все три коэффициентa в некотором порядке обрaзуют геометрическую прогрессию из трёх элементов с рaзностью d. Нaйдите все возможные знaчения d, если известно, что это рaционaльное число и корни f(x) отличаются в d раз.

Спрятать решение

Решение.

Коэффициенты трёх члена имеют следующий вид: a, $a плюс d,$ $a плюс 2 d$ в каком-то порядке. Корни трёхчлен а можно представить как b и bd.

Первый случай: $a=1,$ два других коэффициента: $1 плюс d$ и $1 плюс 2 d.$

Подслучай 1.1: $b плюс b d= минус 1 минус d,$ значит, $b= минус 1$ или $d= минус 1 .$ Если $b= минус 1,$ пишем также равенство на свободный член:

$b в квадрате d=1 плюс 2 d \Rightarrow d=1 плюс 2 d \Rightarrow d= минус 1.$

Подслучай 1.2:

$b плюс b d= минус 1 минус 2 d \Rightarrow b= минус дробь: числитель: 1 плюс 2 d, знаменатель: 1 плюс d конец дроби .$

Далее,

$b в квадрате d=1 плюс d \Rightarrow d левая круглая скобка 1 плюс 2 d правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 1 плюс d правая круглая скобка в кубе \Rightarrow 3 d в кубе плюс d в квадрате минус 2 d минус 1=0 .$

Рациональные корни этого уравнения могут быть только числами $\pm 1,$ $\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ легко убедится, что они не подходят.

Второй случай: $a плюс d=1,$ два других коэффициента: $1 минус d,$ $1 плюс d.$

Подслучай 2.1:

$b плюс b d= минус 1 плюс d \Rightarrow b= минус дробь: числитель: 1 минус d, знаменатель: 1 плюс d конец дроби .$

Далее,

$b в квадрате d=1 плюс d \Rightarrow d левая круглая скобка 1 минус d правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 1 плюс d правая круглая скобка в кубе \Rightarrow 5 d в квадрате плюс 2 d плюс 1=0 .$

Рациональные корни этого уравнения могут быть только числами $\pm 1,$ $\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ,$ легко убедится, что они не подходят.

Подслучай 2.2: $b плюс b d= минус 1 минус d,$ значит, $b= минус 1$ или $d= минус 1 .$ Если $b= минус 1,$ пишем также равенство на свободный член:

$b в квадрате d=1 минус d \Rightarrow d= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Третий случай: $a плюс 2 d=1,$ два других коэффициента: $1 минус 2 d,$ $1 минус d.$

Подслучай 3.1:

$b плюс b d= минус 1 плюс 2 d \Rightarrow b= минус дробь: числитель: 1 минус 2 d, знаменатель: 1 плюс d конец дроби .$

Далее,

$b в квадрате d=1 минус d \Rightarrow d левая круглая скобка 1 минус 2 d правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 1 минус d правая круглая скобка * левая круглая скобка 1 плюс d правая круглая скобка в квадрате \Rightarrow 5 d в кубе минус 3 * d в квадрате минус 1=0 .$

Подслучай 3.2:

$b плюс b d= минус 1 плюс d \Rightarrow b= дробь: числитель: 1 минус d, знаменатель: 1 плюс d конец дроби .$

Далее,

$b в квадрате d=1 минус 2 d \Rightarrow d левая круглая скобка 1 минус d правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 1 минус 2 d правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс d правая круглая скобка в квадрате \Rightarrow 3 d в кубе плюс d в квадрате плюс d минус 1=0.$

Ответ: $минус 1, минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Открытая олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии

Спрятать решение · Помощь