сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Целое число s при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка 0, \ldots, 30 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка может быть пре­об­ра­зо­ва­но сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Пусть, на­при­мер, s=9. Пред­ста­вим его в дво­ич­ной си­сте­ме счис­ле­ния пя­ти­знач­ным чис­лом: s=9=01001_2. Те­перь вы­бе­рем какое-ни­будь целое число c боль­ше или равно 0 и сдви­нем по­лу­чив­шу­ю­ся стро­ку 01001 цик­ли­че­ски на c по­зи­ций влево. На­при­мер, при c=1 по­лу­чит­ся стро­ка 10010, пред­став­ля­ю­щая собой дво­ич­ную за­пись числа 18. Зна­чит, сдви­гом на одну по­зи­цию из числа 9 по­лу­ча­ет­ся число 18; будем это за­пи­сы­вать так: 9 \lll 1=18. (Если 01001 сдви­нуть влево на две по­зи­ции, то по­лу­чит­ся 00101, то есть 9 \lll 2=5 пра­вая круг­лая скоб­ка . Итак, s \lll c  — это число, по­лу­чив­ше­е­ся сдви­гом числа s на c по­зи­ций влево.

Для за­шиф­ро­ва­ния осмыс­лен­но­го слова вы­би­ра­ет­ся сек­рет­ный ключ  — набор из 64 чисел

k_1, \ldots, k_32 при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка 0, \ldots, 30 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка и c_1, \ldots, c_32 при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка 0, 1, 2, 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Затем с каж­дой бук­вой слова (по от­дель­но­сти) про­де­лы­ва­ет­ся сле­ду­ю­щее. Букву за­ме­ня­ют чис­лом a по таб­ли­це и по­сле­до­ва­тель­но вы­чис­ля­ют

a_1= левая круг­лая скоб­ка a плюс k_1 пра­вая круг­лая скоб­ка \lll c_1, a_2= левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс k_2 пра­вая круг­лая скоб­ка \lll c_2,  \ldots, a_32= левая круг­лая скоб­ка a_31 плюс k_32 пра­вая круг­лая скоб­ка \lll c_32.

Ис­ход­ную букву затем за­ме­ня­ют на букву, со­от­вет­ству­ю­щую числу a32. (Если в про­цес­се вы­чис­ле­ний по­лу­ча­ет­ся число, пре­вы­ша­ю­щее 30, то оно за­ме­ня­ет­ся остат­ком от де­ле­ния на 31. Так, сумму 20 плюс 17 сле­ду­ет за­ме­нить на 6.)

В ре­зуль­та­те за­шиф­ро­ва­ния по­лу­чил­ся набор букв ЯГ­КЫ­НИ. Най­ди­те ис­ход­ное слово, если из­вест­но, что при за­шиф­ро­ва­нии на этом ключе буква Ы пе­ре­хо­дит в букву b, а буква П  — в E.

 

АБВГДЕЖЗИКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ
0123456789101112131415161718192021222324252627282930
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­ка­жем, что

 левая круг­лая скоб­ка s \lll c пра­вая круг­лая скоб­ка =r_31 левая круг­лая скоб­ка s умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка c пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка . \qquad левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка

За­ме­тим, что до­ста­точ­но до­ка­зать для c=1. Пусть s= левая круг­лая скоб­ка s_4 s_3 s_2 s_1 s_0 пра­вая круг­лая скоб­ка _2. Если s_4=0, то ра­вен­ство (*) оче­вид­но. Если s_4=1, то

s=16 плюс 2 в кубе умно­жить на s_3 плюс 2 в квад­ра­те умно­жить на s_2 плюс 2 умно­жить на s_1 плюс s_0.

Тогда

r_31 левая круг­лая скоб­ка s умно­жить на 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на s_3 плюс 2 в кубе умно­жить на s_2 плюс 2 в квад­ра­те умно­жить на s_1 плюс 2 умно­жить на s_0 плюс 1= левая круг­лая скоб­ка s \lll c пра­вая круг­лая скоб­ка ,

и ра­вен­ство (*) до­ка­за­но. Сле­до­ва­тель­но,

 a_1= левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс k_1 пра­вая круг­лая скоб­ка \lll c_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =r_31 левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс k_1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка c_1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =r_31 левая круг­лая скоб­ка a умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка c_1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс k_1 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка c_1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка . \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

То есть, на одном шаге шиф­ро­ва­ния  — ли­ней­ное пре­об­ра­зо­ва­ние числа а по пра­ви­лу (1). Так как ком­по­зи­ция ли­ней­ных пре­об­ра­зо­ва­ний есть ли­ней­ное пре­об­ра­зо­ва­ние, то a_32= левая круг­лая скоб­ка a умно­жить на x плюс k пра­вая круг­лая скоб­ка , где x и k  — не­из­вест­ные.

Вос­поль­зу­ем­ся тем, что на этом ключе буква b пе­ре­хо­дит в букву b, а буква П  — в E:

27= левая круг­лая скоб­ка 25 умно­жить на x плюс k пра­вая круг­лая скоб­ка , 5= левая круг­лая скоб­ка 14 умно­жить на x плюс k пра­вая круг­лая скоб­ка

(по мо­ду­лю 31).

Вы­чи­тая из пер­во­го ра­вен­ства вто­рое, по­лу­чим: 22=11 умно­жить на x. От­сю­да x=2. Тогда 27= левая круг­лая скоб­ка 25 умно­жить на 2 плюс k пра­вая круг­лая скоб­ка (по мо­ду­лю 31) и, сле­до­ва­тель­но, k=8. Окон­ча­тель­но по­лу­чи­ли: a_32= левая круг­лая скоб­ка a умно­жить на 2 плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка . Тогда

a=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a_32 минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =16 умно­жить на a_32 плюс 27

(можно было сразу ре­шать урав­не­ние a= левая круг­лая скоб­ка a_32 умно­жить на x плюс k пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка . По­сле­до­ва­тель­но под­став­ляя буквы шиф­ро­ван­но­го тек­ста ЯГ­КЫ­НИ по­лу­чим ис­ход­ное слово МОСКВА.

 

Ответ: MOCKBA.