РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 766 Добавить в вариант

Стaрший коэффициент квaдрaтного трёхчленa f(x) рaвен 1. Все три коэффициентa в некотором порядке обрaзуют геометрическую прогрессию из трёх элементов с рaзностью q. Нaйдите все возможные знaчения q, если известно, что это рaционaльное число и рaзность корней f(x) рaвнa q.

Спрятать решение

Решение.

Коэффициенты трёхчлена имеют следующий вид: a, aq, $aq в квадрате$ в некотором порядке. Корни можно представить как b и $b плюс q.$

Первый случай: $a=1,$ два других коэффициента: q и $q в квадрате .$

Подслучай 1.1: $2 b плюс q= минус q \Rightarrow b=q .$ Далее,

$b левая круглая скобка b плюс q правая круглая скобка =q в квадрате \Rightarrow q умножить на 2 q=q в квадрате ,$

откуда $q=0,$ что невозможно из определения геометрической прогрессии.

Подслучай 1.2:

$2 b плюс q= минус q в квадрате \Rightarrow b= дробь: числитель: минус q в квадрате минус q, знаменатель: 2 конец дроби .$

Далее,

$b левая круглая скобка b плюс q правая круглая скобка =q \Rightarrow q в квадрате левая круглая скобка q плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка q минус 1 правая круглая скобка =4 q,$

откуда снова $q=0,$ что невозможно из определения геометрической прогрессии. Другие рациональные корни этого уравнения могут быть только числами $\pm 1, \pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ,$ легко убедится, что они не подходят.

Второй случай: $a q=1,$ два других коэффициента: $дробь: числитель: 1, знаменатель: q конец дроби$ и q.

Подслучай 2.1:

$2 b плюс q= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: q конец дроби \Rightarrow b= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: q конец дроби минус q правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1 плюс q в квадрате , знаменатель: 2 q конец дроби .$

Далее,

$b левая круглая скобка b плюс q правая круглая скобка =q \Rightarrow левая круглая скобка 1 плюс q в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус q в квадрате правая круглая скобка =4 q в кубе .$

Рациональные корни этого уравнения могут быть только числами $\pm 1,$ легко убедится, что они не подходят.

Подслучай 2.2: $2 b плюс q= минус q \Rightarrow b= минус q.$ Далее,

$b левая круглая скобка b плюс q правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: q конец дроби \Rightarrow 0= дробь: числитель: 1, знаменатель: q конец дроби ,$

нет решений.

Третий случай: $a q в квадрате =1,$ два других коэффициент а: $дробь: числитель: 1, знаменатель: q конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: q в квадрате конец дроби$

Подслучай 3.1:

$2 b плюс q= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: q конец дроби \Rightarrow b= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка минус q минус дробь: числитель: 1, знаменатель: q конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1 плюс q в квадрате , знаменатель: 2 q конец дроби .$

Далее,

$b левая круглая скобка b плюс q правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: q в квадрате конец дроби \Rightarrow левая круглая скобка 1 плюс q в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус q в квадрате правая круглая скобка =4 \Rightarrow 5 минус q в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =0.$

Рациональных корней нет.

Подслучай 3.2:

$2 b плюс q= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: q в квадрате конец дроби \Rightarrow b= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка минус q минус дробь: числитель: 1, знаменатель: q в квадрате конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1 плюс q в кубе , знаменатель: 2 q в квадрате конец дроби .$

Далее,

$b левая круглая скобка b плюс q правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: q конец дроби \Rightarrow левая круглая скобка 1 плюс q в кубе правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус q в кубе правая круглая скобка =4 * q в кубе .$

Рациональные корни этого уравнения могут быть только числами $\pm 1 .$ Таким образом, все случаи разобраны, рациональных решений нет.

Ответ: Решений нет.

Открытая олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии

Спрятать решение · Помощь