РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 763 Добавить в вариант

Нa стороне AC треугольникa ABC кaк нa диaметре построенa окружность рaдиусa 10 см. Этa окружность пересекaет стороны AB и BC в точкaх X и Y соответственно. Нaйдите $AX умножить на AB плюс CY умножить на BC.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть точка M  — середин а стороны AC, она же центр окружности. Тогда

$A B умножить на B X=B C умножить на B Y= левая круглая скобка B M плюс 10 правая круглая скобка левая круглая скобка B M минус 10 правая круглая скобка .$

Отсюда

$B X= дробь: числитель: B M в квадрате минус 100, знаменатель: A B конец дроби = дробь: числитель: 2 A B в квадрате плюс 2 B C в квадрате минус 400 минус 400, знаменатель: 4 A B конец дроби .$

Соответственно

$A X=A B минус дробь: числитель: 2 A B в квадрате плюс 2 B C в квадрате минус 800, знаменатель: 4 A B конец дроби = дробь: числитель: 2 A B в квадрате минус 2 B C в квадрате плюс 800, знаменатель: 4 A B конец дроби ,$

аналогично

$C Y= дробь: числитель: 2 B C в квадрате минус 2 A B в квадрате плюс 800, знаменатель: 4 B C конец дроби .$

Тогда $A X умножить на A B плюс C Y умножить на B C= дробь: числитель: 1600, знаменатель: 4 конец дроби =400.$

Ответ: 400.

Открытая олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности и многоугольник

Спрятать решение · Помощь