Для безопасной передачи по сети на мобильный телефон секретного ключа (СК), представляющего собой набор из 
и вычисляется зашифрованный ключ (3K) c по формуле 
где rn(z) — остаток от деления числа z на n. Это значение c и пересылается по сети. При получении числа c на телефоне подсчитывается число 
Причем натуральное число d выбрано так, что для любого натурального числа z выполняется равенство 
Если найденное M не является четырехзначным числом, первая цифра в котором 1, телефон выдаёт сообщение об ошибке. Злоумышленник перехватил ЗК 
и предпринял попытку передачи на телефон новых чисел вида 
При 
была получена ошибка, а при 
и 
ошибки не возникло. Определите СК, если 
Если 
то по условию
При 
ошибки не было, поэтому 
—
t — натуральное. С учетом того, что
нетрудно заметить, что 
и получаем следующее ограничение:
При ошибки также не было, поэтому
Нетрудно заметить, что 
—
получить только соответствующие оценки, противоречащие (1) или (2):
— при 
имеем
что противоречит (1);
— при 
имеем
что противоречит (1);
— при 
имеем
что противоречит (2).
В итоге получаем, что и
Предположим теперь, что и при ошибки не было. Тогда
Полуинтервал 
должен иметь непустое пересечение с отрезком, определяемым неравенством (3). Следовательно,
Подставляя найденное значение 
в (4), имеем
Но на самом деле при ошибка была, значит, m неравенству (5) не удовлетворяет, но удовлетворяет неравенству (3), следовательно, 
Ответ: 1828.