сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сфера ра­ди­у­са 3 впи­са­на в кар­кас тет­ра­эд­ра (т. е. ка­са­ет­ся всех его рёбер). Сумма длин рёбер тет­ра­эд­ра со­став­ля­ет 60. До­ка­жи­те, что объём тет­ра­эд­ра не пре­вос­хо­дит 90.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим наш тет­ра­эдр ABCD, центр сферы, впи­сан­ной в кар­кас, за O, а саму сферу за S. Объём тет­ра­эд­ра равен сумме объёмов ма­лень­ких тет­ра­эд­ров OABC, OABD, OACD и OBCD.

Пе­ре­се­че­ние S и плос­ко­сти ABC это впи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка ABC. Обо­зна­чим за I её центр, тогда OI  — вы­со­та тет­ра­эд­ра OABC. Пусть R  — ра­ди­ус сферы S, r  — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, тогда вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство R в квад­ра­те =O I в квад­ра­те плюс r в квад­ра­те . Тогда

V_O A B C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на O I умно­жить на S_A B C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на O I умно­жить на p_A B C умно­жить на r,

где p_A B C  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC. По не­ра­вен­ству о сред­нем гео­мет­ри­че­ском и сред­нем квад­ра­тич­ном

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: O I умно­жить на r конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: O I в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но O I умно­жить на r мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: O I в квад­ра­те плюс r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: R в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Таким об­ра­зом, V_O A B C мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на R в квад­ра­те p_A B C . Скла­ды­вая объёмы четырёх ма­лень­ких тет­ра­эд­ров мы по­лу­ча­ем

V_A B C D мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на R в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка p_A B C плюс p_A B D плюс p_A C D плюс p_B C D пра­вая круг­лая скоб­ка ,

а сумма по­лу­пе­ри­мет­ров гра­ней это в точ­но­сти сумма длин рёбер тет­ра­эд­ра. Зна­чит,

V_A B C D мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на 3 в квад­ра­те умно­жить на 60=90, чтд.