сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Пусть x_1,x_2, \dots, x_60  — на­ту­раль­ные числа, боль­шие 1 (не обя­за­тель­но раз­лич­ные). В таб­ли­це 60 на 60 рас­став­ле­ны числа сле­ду­ю­щим об­ра­зом: на пе­ре­се­че­нии i-ой стро­ки и k-го столб­ца за­пи­са­но число  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x_k пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x_i, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы всех чисел в таб­ли­це.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное вы­ра­же­ние:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x_k пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x_i, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x_k пра­вая круг­лая скоб­ка x_i минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x_k пра­вая круг­лая скоб­ка 8 .

Сло­жим умень­ша­е­мое с ана­ло­гич­ным умень­ша­е­мым в сим­мет­рич­ной ячей­ке:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x_k пра­вая круг­лая скоб­ка x_i плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x_i пра­вая круг­лая скоб­ка x_k= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x_k пра­вая круг­лая скоб­ка x_i плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x_k пра­вая круг­лая скоб­ка x_i конец дроби боль­ше или равно 2,

по­сколь­ку дан­ный логар ифм по­ло­жи­те­лен. Если же i=k, то этот ло­га­рифм р авен еди­ни­це.

Таким об­ра­зом, сумма умень­ша­е­мых во всех вы­ра­же­ни­ях  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x_k пра­вая круг­лая скоб­ка x_i минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x_k пра­вая круг­лая скоб­ка 4 не мень­ше ко­ли­че­ства ячеек, т. е. 60 в квад­ра­те . Вы­чи­та­е­мые же мак­си­маль­ны при ми­ни­маль­ном x_k=2 и равны 3 . Сле­до­ва­тель­но, сумма чисел во всей таб­ли­це не мень­ше

60 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 60 в квад­ра­те умно­жить на 2

и ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся когда все x_k=2.

 

Ответ: −7200.