Обо­зна­чим наш тет­ра­эдр ABCD, центр сферы, впи­сан­ной в кар­кас, за O, а саму сферу за S. Объём тет­ра­эд­ра равен сумме объёмов м алень­ких тет­ра­эд­ров OABC, OABD, OACD и OBCD.

Пе­ре­се­че­ние S и плос­ко­сти ABC это впи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка ABC. Обо­зна­чим за I её центр, тогда OI  — вы­со­та тет­ра­эд­ра OABC. Пусть R  — ра­ди­ус сферы S, r  — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. тогда вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство Тогда

где   — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC. По не­ра­вен­ству о сред­нем гео­мет­ри­че­ском и сред­нем квад­ра­тич­ном

то есть

Таким об­ра­зом,

Скла­ды­вая объёмы четырёх ма­лень­ких тет­ра­эд­ров мы по­лу­ча­ем

а сумма по­лу­пе­ри­мет­ров гра­ней это в точ­но­сти сумма длин рёбер тет­ра­эд­ра. Зна­чит,

что и тре­бо­ва­лось.