сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

По­сле­до­ва­тель­ность дей­стви­тель­ных чисел an, n=1, 2, 3, , \ldots та­ко­ва, что a_n плюс 1=a_n плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a_n конец ар­гу­мен­та плюс a_n плюс 1, n=1, 2, 3, \ldots и a_1=1. Най­ди­те явную фор­му­лу, вы­ра­жа­ю­щую число an через n.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­счи­та­ем пер­вые члены по­сле­до­ва­тель­но­сти an, n=2, 3. Для a2 имеем по усло­вию a_2=1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс a_2 конец ар­гу­мен­та , то есть a_2 в квад­ра­те минус 3 a_2=0 и a_2 боль­ше 1, от­ку­да a_2=3=1 плюс 2. Для a3 имеем тогда a_3=3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 плюс a_3 конец ар­гу­мен­та , то есть a_3 в квад­ра­те минус 7 a_3 плюс 6=0 и a_3 боль­ше 3, от­ку­да a_3=6=1 плюс 2 плюс 3. От­сю­да легко уга­ды­ва­ет­ся общая фор­му­ла

a_n=1 плюс 2 плюс 3 плюс \ldots плюс n= дробь: чис­ли­тель: n левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

До­ка­жем её по ин­дук­ции. База уже до­ка­за­на для n=1, 2, 3. Пусть фор­му­ла верна для n, тогда для an+1 имеем по усло­вию

a_n плюс 1= дробь: чис­ли­тель: n левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: n левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс a_n плюс 1 конец ар­гу­мен­та ,

то есть

a_n плюс 1 в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те плюс n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка a_n плюс 1 плюс дробь: чис­ли­тель: n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 n в кубе минус n в квад­ра­те минус 2 n, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =0

и a_n плюс 1 боль­ше дробь: чис­ли­тель: n левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния равен

левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те плюс n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 n в кубе минус n в квад­ра­те минус 2 n пра­вая круг­лая скоб­ка =4 n в квад­ра­те плюс 4 n плюс 1= левая круг­лая скоб­ка 2 n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,

от­ку­да

a_n плюс 1= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те плюс n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \pm левая круг­лая скоб­ка 2 n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: n в квад­ра­те плюс 3 n плюс 2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \pm дробь: чис­ли­тель: n в квад­ра­те минус n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

С учётом огра­ни­че­ния a_n плюс 1 боль­ше дробь: чис­ли­тель: n левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби по­лу­ча­ем

a_n плюс 1= дробь: чис­ли­тель: n в квад­ра­те плюс 3 n плюс 2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка n плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

Ответ: a_n=1 плюс 2 плюс 3 плюс \ldots плюс n= дробь: чис­ли­тель: n левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Фор­му­ла для an уга­да­на верно и про­ве­ре­на для малых n=2, 3 — 1 балл.

Фор­му­ла для an най­де­на верно и пол­но­стью обос­но­ва­на (с от­бо­ром нуж­ных кор­ней) для малых n=2, 3, но не до­ка­за­на в общем слу­чае — 2 балла.

Есть до­ка­за­тель­ство фор­му­лы в общем слу­чае, но нет по­яс­не­ния от­бо­ру нуж­но­го корня — минус 2 балла.

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024