РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 732 Добавить в вариант

Найдите все непрерывные на всей числовой оси функции, удовлетворяющие тождеству $4f левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = f левая круглая скобка x правая круглая скобка f левая круглая скобка y правая круглая скобка$ и условию $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = 12.$

Спрятать решение

Решение.

Вначале докажем, что $f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 0 .$ Действительно,

$4 f левая круглая скобка x правая круглая скобка =f левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0 .$

Подставив в условие задачи $x=y=0,$ получаем $4 f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка умножить на f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка$ откуда $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0$ или $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =4 .$ Если $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0,$ то $4 f левая круглая скобка x плюс 0 правая круглая скобка =f левая круглая скобка x правая круглая скобка f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка ,$ откуда $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ для любого x, что неверно. Следовательно, $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =4 .$

Подставляя $y=1,$ получаем $4 f левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =f левая круглая скобка x правая круглая скобка умножить на f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка ,$ то есть $f левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =3 f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Отсюда для любого натурального n находим $f левая круглая скобка n правая круглая скобка =f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка .$ Также легко по индукции доказать формулу

$f левая круглая скобка x_1 плюс x_2 плюс \ldots плюс x_n правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка конец дроби f левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка f левая круглая скобка x_2 правая круглая скобка \ldots f левая круглая скобка x_n правая круглая скобка ,$

откуда, в частности,

$f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби плюс \ldots плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка .$

Значит, $f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =3 умножить на 4 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка ,$ откуда $f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка =4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка$ для всех натуральных $n .$ Отсюда

$f левая круглая скобка дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка =f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби плюс \ldots плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка конец дроби 4 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка =4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка$

для натуральных m и n.

Теперь разберёмся с отрицательными дробями:

$4 f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =4 f левая круглая скобка дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби минус дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка =f левая круглая скобка дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка f левая круглая скобка минус дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка ,$

откуда $f левая круглая скобка минус дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка =4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка .$

Таким образом, функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка$ для всех рациональных чисел. Функция в правой части равенства также непрерывна, а если две функции совпадают для всех рациональных чисел, то они совпадают на всей вещественной оси.

Ответ: $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4 умножить на 3 в степени x .$

Открытая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Анализ. Функциональные уравнения и неравенства

Спрятать решение · Помощь