Нам будет по­ле­зен ана­лог целой части вы­ра­жа­ю­щий для двух чисел с раз­но­стью x рас­сто­я­ние по окруж­но­сти между об­ра­за­ми этих чисел, если на­мо­тать чис­ло­вую пря­мую на еди­нич­ную окруж­ность: будем го­во­рить, что при и при (здесь {x} обо­зна­ча­ет обыч­ную целую часть числа x). Тогда, на­при­мер, если длин­на дуги между точ­ка­ми α и β равна то длин­на дуги между 2022α и 2022β равна Пред­по­ло­жим про­тив­ное: что про­ве­де­но бес­ко­неч­ное число хорд, но все они не пе­ре­се­ка­ют­ся. Нам будет удоб­но пред­став­лять, что мы по­сле­до­ва­тель­но до­бав­ля­ем новые точки в по­ряд­ке их но­ме­ров и ри­су­ем по­лу­ча­ю­щи­е­ся хорды.

Для крат­ко­сти точку будем обо­зна­чать про­сто P_n. За­ме­тим, что точки не по­вто­ря­ют­ся: если бы ока­за­лось, что при то вы­пол­ня­лось бы и т. д., тогда число хорд было бы ко­неч­ным. Итак, каж­дая новая точка по­па­да­ет стро­го между ранее по­став­лен­ны­ми.

Опре­де­лим по ин­дук­ции по­ня­тие ак­тив­ной дуги n-го шага. Для на­ту­раль­но­го будем ей счи­тать ту из двух дуг P₀P₁, на ко­то­рую по­па­да­ет P₂. За­ме­тим, что тогда все точки P_n лежат на ак­тив­ной дуге пер­во­го шага. В самом деле, пусть все точки от 2-й до m-й лежат на ак­тив­ной дуге 1-го шага, а -я там не лежит. Тогда хорды P₀P₁ и пе­ре­се­ка­ют­ся.

Те­перь пред­по­ло­жим, что мы уже ин­дук­ци­ей по n до­ка­за­ли, что все точки P_m по­па­да­ют на ак­тив­ную дугу n-го шага при Опре­де­лим ак­тив­ную дугу -го шага. лежит на n-й ак­тив­ной дуге, зна­чит, делит ее на две части. На одну из этих ча­стей по­па­да­ет точка   — эту часть и будем на­зы­вать ак­тив­ной дугой -го шага. Тогда чтобы ин­дук­ция ра­бо­та­ла нам оста­лось до­ка­зать, что все точки P_m лежат на этой дуге при По­нят­но, что концы дуги  — это какие-то из преды­ду­щих точек P, зна­чит, есть фраг­мент ло­ман­ной, со­еди­ня­ю­щий их. Зна­чит, если P_m еще лежит на дуге, а   — уже нет, и не сов­па­да­ет ни с одной из преды­ду­щих точек P (что упо­ми­на­лось ранее)  — зна­чит, пе­ре­се­ка­ет­ся с ука­зан­ным фраг­мен­том ло­ман­ной.

Как легко ви­деть, каж­дая сле­ду­ю­щая ак­тив­ная дуга яв­ля­ет­ся под­мно­же­ством преды­ду­щей. Более того, обо­зна­чим через длину ак­тив­ной дуги, а через   — длину дуги ( той из двух, ко­то­рая лежит внут­ри ак­тив­ной). Тогда или или

По­сколь­ку   — не­воз­рас­та­ю­щая по­сле­до­ва­тель­ность по­ло­жи­тель­ных чисел, она имеет пре­дел. До­ка­жем, что этого не может быть.

Если пре­дел равен нулю, то нулю же равен и пре­дел по­сле­до­ва­тель­но­сти по­сколь­ку Но за­ме­тим, что То есть если то Кроме того, все­гда не равно нулю (иначе две точки сов­па­ли). Зна­чит, для в по­сле­до­ва­тель­но­сти встре­ча­ют­ся члены боль­шие со сколь угод­но боль­ши­ми но­ме­ра­ми  — ноль не яв­ля­ет­ся пре­де­лом.

Пусть пре­дел равен по­ло­жи­тель­но­му числу a. Тогда по (*) по­сле­до­ва­тель­ность раз­би­лась на две под­по­сле­до­ва­тель­но­сти, пре­дел одной равен нулю, пре­дел дру­гой  — a, при­чем по до­ка­зан­но­му выше вто­рая со­дер­жит бес­ко­неч­ное число чле­нов. За­ме­тим, что a  — не­по­движ­ная точка пре­об­ра­зо­ва­ния Тогда ана­ло­гич­но

если Вы­бе­рем будем го­во­рить о чис­лах 0 и a как о двух пре­де­лах. На­чи­ная с ка­ко­го-то но­ме­ра все долж­ны по­па­дать в   — окрест­ность од­но­го из двух пре­де­лов. Но тогда при пе­ре­хо­де от к рас­сто­я­ние до пре­де­ла будет расти в 2022 раза  — рано или позд­но вы­ско­чит из -окрест­но­сти те­ку­ще­го пре­де­ла и еще не до­тя­нет­ся до   — окрест­но­сти дру­го­го пре­де­ла.

Ком­мен­та­рии. Мно­гие участ­ни­ки пы­та­лись до­ка­зы­вать факт, что при фик­си­ро­ван­ных α и φ углы вида (при всех на­ту­раль­ных n) всюду плот­ны на окруж­но­сти. По-ви­ди­мо­му, пе­ре­пу­тав его с фак­том, что для не со­из­ме­ри­мо­го с π угла α углы вида na всюду плот­ны на окруж­но­сти. Вто­рой факт верен, пер­вый нет.