В этой задаче запись 
где x — целое а n — натуральное, обозначает такое целое число y от 0 до n – 1, что x – y делится на n. Существует ли такая функция f, определенная для целых значений аргумента и принимающая целые значения, что при любом целом x верно
Стандартным ходом при решении задач на функциональные уравнения является подставить какое-то значение переменной, при котором два часто возникающих и не равных друг-другу тождественно выражения оказываются равны, и посмотреть, какие следствия из этого удастся вывести. Применительно к данной задаче на роль такой подстановки простится значение x0, для которого выполнялось бы 
Задумаемся, а существует ли такое x0? Условие равносильно квадратному уравнению в остатках: 
(в этом абзаце все сравнимости по модулю 7), эквивалентно
Или можно было просто перебором остатков, благо их всего 7, убедиться, что любой из 3 и 5 подходят.
Что же нам дает равенство 
Просится от обоих частей взять функцию f, а затем воспользоваться условием задачи. Имеем:
Чтобы подчеркнуть полученное, обозначим 
и выбросим среднюю часть: 
Отсюда следует 
(в этом абзаце все сравнимости по модулю 11), отметим что это именно следствие а не равносильность. Выясним, имеет ли сравнимость решения, действуя стандартно 
А извлекается ли квадратный корень из −3 по модулю 11? Заметим что
Мы перебрали все остатки, среди квадратов не нашлось −3, значит, корень не извлекается, значит, уравнение не имеет решений. Итак, требуемой функции f не существует.
Ответ: нет.