a) Пусть такой 19-уголь­ник су­ще­ству­ет. Рас­смот­рим впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на его по­сле­до­ва­тель­ные сто­ро­ны. Все они раз­ные, и сумма каж­дых двух углов, со­от­вет­ству­ю­щих со­сед­ним сто­ро­нам, целая (она до­пол­ня­ет один из углов 19-уголь­ни­ка до Рас­смот­рим два слу­чая.

1)  Все эти впи­сан­ные углы вы­ра­жа­ют­ся целым чис­лом гра­ду­сов. Тогда их сумма не мень­ше что не­воз­мож­но.

2)  Есть угол с не­ну­ле­вой дроб­ной ча­стью Тогда у со­сед­не­го угла дроб­ная часть равна у сле­ду­ю­ще­го  — снова и т. д. По­сколь­ку нечётное число, то Но тогда сумма углов, опи­ра­ю­щих­ся на все сто­ро­ны, не мень­ше

Снова про­ти­во­ре­чие.

б) Пусть впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на по­сле­до­ва­тель­ные сто­ро­ны 20-уголь­ни­ка, равны

Сумма этих чисел равна Каж­дый угол 20-уголь­ни­ка равен минус сумма двух со­сед­них из ука­зан­но­го спис­ка углов, а все эти суммы целые.

Ответ: а) не су­ще­ству­ет; б) су­ще­ству­ет.