Лемма. Любое число a можно пред­ста­вить в виде суммы k дро­бей вида ко­неч­ным чис­лом спо­со­бов (если во­об­ще можно пред­ста­вить).

До­ка­за­тель­ство леммы. Будем до­ка­зы­вать ин­дук­ци­ей по k. Для утвер­жде­ние оче­вид­но. Пусть утвер­жде­ние верно для До­ка­жем для По­смот­рим на наи­боль­шую дробь в раз­ло­же­нии, она не может быть мень­ше, чем иначе сумма всех дро­бей точно мень­ше a. Зна­чит, зна­ме­на­тель этой дроби точно не боль­ше, чем то есть у нас су­ще­ству­ет ко­неч­ное ко­ли­че­ство зна­че­ний наи­боль­шей дроби. Далее для каж­до­го от­дель­но­го зна­че­ния этой наи­боль­шей дроби мы по­лу­ча­ем, что сумма остав­ших­ся дро­бей долж­на быть каким-то фик­си­ро­ван­ным чис­лом. По пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции мы знаем, что таких дро­бей для каж­до­го от­дель­но­го зна­че­ния наи­боль­шей дроби ко­неч­но, а, зна­чит, и всего пред­став­ле­ний a в виде суммы k дро­бей ко­неч­но.

Те­перь по­ка­жем, как Петя может хо­дить так, чтобы Вася после сво­е­го хода ни­ко­гда не сде­лал сумму целой. Пусть перед ходом Пети сумма чисел на доске равна S, а Вася после его хода будет вы­пи­сы­вать k дро­бей. За­ме­тим, что после хода Васи сумма чисел точно не ста­нет боль­ше чем то есть он точно не по­лу­чит на­ту­раль­ное число, боль­шее Для каж­дой из остав­ших­ся по­тен­ци­аль­ных на­ту­раль­ных сумм (а их оста­лось ко­неч­ное ко­ли­че­ство) по­счи­та­ем, на сколь­ко надо уве­ли­чить те­ку­щую сумму, чтобы она стала такой. Из леммы сле­ду­ет, что для каж­до­го та­ко­го числа су­ще­ству­ет лишь ко­неч­ное ко­ли­че­ство пред­став­ле­ний его в виде суммы дроби вида Зна­чит, всего во всех пред­став­ле­ни­ях за­дей­ство­ва­но ко­неч­ное число дро­бей вида

Пусть Петя тогда за­пи­шет на доску ту дробь, ко­то­рая не за­дей­ство­ва­на ни в одном из пред­став­ле­ний. Тогда Вася точно не смо­жет на­пи­сать k дро­бей так, чтобы сумма стала на­ту­раль­ной.

Ответ: смо­жет.