I спо­соб. За­ме­тим, что (про­верь­те!). До­мно­жив это ра­вен­ство на по­лу­чим: За­ме­няя на сумму из преды­ду­ще­го ра­вен­ства, по­лу­ча­ем пять кубов, да­ю­щих в сумме куб: До­мно­жив новое ра­вен­ство на и снова за­ме­няя на сумму трёх кубов, по­лу­ча­ем 7 кубов, да­ю­щих в сумме куб:

Дей­ствуя далее ана­ло­гич­но, мы смо­жем по­лу­чить и 99 кубов, да­ю­щих в сумме куб, что и тре­бу­ет­ся в за­да­че.

Ответ: су­ще­ству­ют.

II спо­соб. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой За­ме­тим, что