а) Пусть Вася дей­ству­ет так: если Петя на­зы­вал чётное число, Вася его и за­пи­сы­ва­ет, а если Петя на­звал нечётное  — за­пи­сы­ва­ет сумму его и всех чисел на доске. Тогда Вася может за­пи­сать на доску нечётное число лишь один раз  — когда Петя впер­вые на­звал нечётное число. Зна­чит, на доске будет на­пи­са­но не более од­но­го нечётного числа, и тем самым не более одной пятёрки.

б) Как Пете до­бить­ся того, чтобы Вася на­пи­сал на доске число 10:

(2) Если сумма чисел на доске равна −5, то Петя на­зы­ва­ет число 10, и Вася либо пишет число 10 , либо пишет число 5 и по­па­да­ет в си­ту­а­цию (1).

(3) Если сумма чисел на доске равна 5 , то Петя на­зы­ва­ет число −10, и Вася либо пишет число −5 и по­па­да­ет в си­ту­а­цию (1), либо пишет число −10 и по­па­да­ет в си­ту­а­цию (2).

(4) Если сумма чисел на доске равна 10, то Петя на­зы­ва­ет число −15, и Вася либо пишет число −15 и по­па­да­ет в си­ту­а­цию (2), либо пишет число −5 и по­па­да­ет в си­ту­а­цию (3).

За­ме­тим, что если на доске дру­гая сумма чисел, ска­жем n, то Петя может на­звать число и Вася либо на­пи­шет число 10, либо попадёт в си­ту­а­цию (4). Таким об­ра­зом, имея любой набор чисел на доске, мы можем в итоге за­ста­вить Васю на­пи­сать 10. Зна­чит, мы смо­жем сде­лать так, чтобы на доске было 100 де­ся­ток.

Ответ: а) не все­гда; б) все­гда.