Назовём пару различных натуральных чисел удачной, если их среднее арифметическое (полусумма) и среднее геометрическое (квадратный корень из произведения) — натуральные числа. Верно ли, что для каждой удачной пары найдётся другая удачная пара с тем же средним арифметическим? (Пояснение: пары 
и 
считаются одинаковыми).
(Борис Френкин)
Пусть среднее арифметическое удачной пары равно натуральному числу m. Тогда числа из этой пары — одной чётности, и их можно представить в виде 
и 
где n тоже натуральное. Так как среднее геометрическое чисел пары — натуральное число, их произведение — полный квадрат: 
где k натуральное. Тогда 
откуда 
—
(иначе 
что невозможно в силу иррациональности 
Замечание. Если числа исходной пары — это a, b, то числа новой пары имеют вид 
Ответ: да, верно.