В куче n камней, играют двое. За ход можно взять из кучи количество камней, либо равное простому делителю текущего числа камней в куче, либо равное 1. Выигрывает взявший последний камень. При каких n начинающий может играть так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник?
Стратегия: каждый раз оставлять в куче кратное 4 число камней: при 
надо взять один камень, 
—
надо взять p камней, 
(такой есть, иначе все простые делители n имеют вид 
а произведение чисел такого вида тоже имеет такой вид и не равно 
).
Противник из кучи с кратным 4 числом камней не может взять число камней, кратное 4 (это будет не простое число), поэтому начинающий и дальше может играть по стратегии.
Ответ: при n, не кратном 4.