До­ка­жем, что при вы­иг­ра­ет кот Мат­рос­кин. Для этого до­ста­точ­но, чтобы на по­след­нем шаге дяди Фёдора все остав­ши­е­ся 100 бу­тер­бро­дов ока­за­лись без кол­ба­сы.

Про­ну­ме­ру­ем бу­тер­бро­ды по по­ряд­ку. Стра­те­гию кота Мат­рос­ки­на раз­де­лим на не­сколь­ко ста­дий. Сна­ча­ла по­ка­жем, что он может дей­ство­вать так, чтобы к мо­мен­ту, когда оста­нет­ся треть от ис­ход­но­го ко­ли­че­ства бу­тер­бро­дов, все бу­тер­бро­ды, номер ко­то­рых даёт оста­ток 1 при де­ле­нии на 100, были без кол­ба­сы.

От­ме­тим в каж­дой сотне бу­тер­бро­дов тот бу­тер­брод, номер ко­то­ро­го даёт оста­ток 1 при де­ле­нии на 100. Пусть за пер­вые ходов кот Мат­рос­кин стя­нет кол­ба­су с каж­до­го от­ме­чен­но­го бу­тер­бро­да среди цен­траль­ной трети бу­тер­бро­дов. Так как Дядя Фёдор за это время съе­да­ет бу­тер­бро­дов, ни­ка­кие бу­тер­бро­ды среди цен­траль­ной трети съе­де­ны не будут. Сле­ду­ю­щие ходов кот Мат­рос­кин будет за­би­рать кол­ба­су с про­из­воль­но­го от­ме­чен­но­го бу­тер­бро­да, а если от­ме­чен­ных бу­тер­бро­дов с кол­ба­сой не оста­нет­ся  — ни­че­го не де­лать. Так как за один ход дядя Фёдор съе­да­ет не более од­но­го от­ме­чен­но­го бу­тер­бро­да (см. за­ме­ча­ние 1), то ещё через ходов все остав­ши­е­ся от­ме­чен­ные бу­тер­бро­ды будут без кол­ба­сы.

На сле­ду­ю­щей ста­дии своей стра­те­гии кот Мат­рос­кин ана­ло­гич­ным об­ра­зом добьётся того, чтобы все бу­тер­бро­ды, номер ко­то­рых даёт оста­ток 2 при де­ле­нии на 100, ока­за­лись без кол­ба­сы; при этом ко­ли­че­ство бу­тер­бро­дов снова умень­шит­ся в 3 раза. На каж­дой сле­ду­ю­щей ста­дии он будет осво­бож­дать от кол­ба­сы оче­ред­ной оста­ток от де­ле­ния на 100; через сто ста­дий, когда оста­нет­ся ровно 100 бу­тер­бро­дов, они все будут без кол­ба­сы.

За­ме­ча­ние 1. Каж­дым ходом дядя Фёдор будет съе­дать бу­тер­бро­ды с но­ме­ра­ми, да­ю­щи­ми раз­лич­ные остат­ки от де­ле­ния на 100 , даже если съе­да­ет их с двух сто­рон. Это можно по­нять, за­ме­тив, что до его хода ко­ли­че­ства бу­тер­бро­дов для каж­до­го остат­ка оди­на­ко­вы, так как общее их ко­ли­че­ство крат­но 100; и после его хода си­ту­а­ция такая же.

За­ме­ча­ние 2. Можно уточ­нить стра­те­гию кота Мат­рос­ки­на, по­ка­зав, что при он тоже вы­иг­ры­ва­ет; на каж­дой ста­дии ко­ли­че­ство бу­тер­бро­дов при этом будет умень­шать­ся в 2 раза. Для этого ему нужно стя­ги­вать кол­ба­су толь­ко с тех бу­тер­бро­дов (с но­ме­ра­ми, да­ю­щи­ми дан­ный оста­ток от де­ле­ния на 100), до ко­то­рых дядя Фёдор на дан­ной ста­дии га­ран­ти­ро­ван­но не доберётся. Не­труд­но по­нять, что такой бу­тер­брод дей­стви­тель­но все­гда найдётся.

А вот при уже вы­иг­ры­ва­ет дядя Фёдор. Дей­стви­тель­но, пер­вы­ми хо­да­ми он съест любые сотен бу­тер­бро­дов; за это время уси­ли­я­ми со­пер­ни­ка по­явит­ся не более бу­тер­бро­дов без кол­ба­сы. Далее, если перед дядей Фёдором лежит сотен бу­тер­бро­дов, из ко­то­рых не более без кол­ба­сы, то при он может съесть ту по­ло­ви­ну ряда (пра­вую или левую), в ко­то­рой бу­тер­бро­дов без кол­ба­сы боль­ше. Тогда их в ряду оста­нет­ся не более плюс, бла­го­да­ря коту Мат­рос­ки­ну, не более новых  — всего не более Про­дол­жая так и далее, при дядя Фёдор по­лу­чит сто бу­тер­бро­дов, из ко­то­рых не более 99 будут без кол­ба­сы.

Ответ: нет.