Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение при иметь более 100 корней? обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x2).
(Алексей Толпыго)
Рассмотрим, например, уравнение Оно имеет 199 корней вида (где Действительно,
Идеология. Прямая касается параболы в точке
Замечание. Поясним неформально, как можно было придумать решение задачи.
Поскольку исходное уравнение можно переписать в виде Будем решать его графически: искать пересечения графиков параболы и дробной части квадрата. График дробной части представляет собой ряд равномерно идущих наклонных полуинтервалов:
Аналогично, график состоит из кусочков параболы: мы разрезаем параболу горизонтальными прямыми вида где на кусочки и каждый кусочек параллельно сдвигаем вниз к оси абсцисс. Но эти кусочки идут уже не равномерно, а «чем дальше от нуля, тем всё чаще» (ведь при стремлении x к бесконечности ордината возрастает на 1 при увеличении x на всё меньшее (стремящееся к 0) число:
Но тогда любое уравнение вида с достаточно большим а годится: в окрестности своей вершины
Ответ: может.