сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Как из­вест­но, квад­рат­ное урав­не­ние имеет не более двух кор­ней. А может ли урав­не­ние  левая квад­рат­ная скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс px плюс q=0 при p не равно 0 иметь более 100 кор­ней?  левая круг­лая скоб­ка левая квад­рат­ная скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка обо­зна­ча­ет наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее x2).

 

(Алек­сей Тол­пы­го)

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим, на­при­мер, урав­не­ние  левая квад­рат­ная скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка минус 100x плюс 2500=0. Оно имеет 199 кор­ней вида 50 плюс дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби (где k= минус 99, минус 98, ..., 99 пра­вая круг­лая скоб­ка . Дей­стви­тель­но,

 левая квад­рат­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 50 плюс дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс левая квад­рат­ная скоб­ка 2500 плюс k плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка =2500 плюс k=100 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 50 плюс дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2500.

Идео­ло­гия. Пря­мая y=100 x минус 2500 ка­са­ет­ся па­ра­бо­лы y=x в квад­ра­те в точке  левая круг­лая скоб­ка 50, \2500 пра­вая круг­лая скоб­ка .

За­ме­ча­ние. По­яс­ним не­фор­маль­но, как можно было при­ду­мать ре­ше­ние за­да­чи.

По­сколь­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка =x в квад­ра­те минус левая фи­гур­ная скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая фи­гур­ная скоб­ка , ис­ход­ное урав­не­ние можно пе­ре­пи­сать в виде x в квад­ра­те плюс p x плюс q= левая фи­гур­ная скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая фи­гур­ная скоб­ка . Будем ре­шать его гра­фи­че­ски: ис­кать пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков па­ра­бо­лы и дроб­ной части квад­ра­та. Гра­фик дроб­ной части y= левая фи­гур­ная скоб­ка x пра­вая фи­гур­ная скоб­ка пред­став­ля­ет собой ряд рав­но­мер­но иду­щих на­клон­ных по­лу­ин­тер­ва­лов:

Ана­ло­гич­но, гра­фик y= левая фи­гур­ная скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая фи­гур­ная скоб­ка со­сто­ит из ку­соч­ков па­ра­бо­лы: мы раз­ре­за­ем па­ра­бо­лу y=x в квад­ра­те го­ри­зон­таль­ны­ми пря­мы­ми вида y=n, где n=0, 1,2, \ldots, на ку­соч­ки и каж­дый ку­со­чек па­рал­лель­но сдви­га­ем вниз к оси абс­цисс. Но эти ку­соч­ки идут уже не рав­но­мер­но, а «чем даль­ше от нуля, тем всё чаще» (ведь при стрем­ле­нии x к бес­ко­неч­но­сти ор­ди­на­та воз­рас­та­ет на 1 при уве­ли­че­нии x на всё мень­шее (стре­мя­ще­е­ся к 0) число:

Но тогда любое урав­не­ние вида  левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая фи­гур­ная скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая фи­гур­ная скоб­ка с до­ста­точ­но боль­шим а го­дит­ся: в окрест­но­сти своей вер­ши­ны па­ра­бо­ла y= левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пе­ре­сечёт много ку­соч­ков гра­фи­ка y= левая фи­гур­ная скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

Ответ: может.