а) Как бы Таня ни по­ме­ща­ла гири на весы, рав­но­ве­сия они ни­ко­гда не по­ка­жут. По­это­му каж­дое взве­ши­ва­ние делит мно­же­ство по­до­зри­тель­ных пе­ре­ста­но­вок не более чем на две части. Вна­ча­ле было 24 по­до­зри­тель­ных пе­ре­ста­нов­ки, после пер­во­го взве­ши­ва­ния при «не­удач­ном» ис­хо­де их оста­нет­ся не мень­ше 12, после вто­ро­го  — не мень­ше 6, ..., после четвёртого  — не мень­ше 2.

б) I спо­соб. Сна­ча­ла по­ло­жим на чаши по две гири. В ре­зуль­та­те гири раз­би­ва­ют­ся на две пары: лёгкую и тяжёлую (если весы по­ка­за­ли рав­но­ве­сие, то, как мы знаем, более тяжёлая груп­па  — на левой чаше). Есть три ва­ри­ан­та: лёгкая пара  — гири 1000, 1002, тяжёлая  — 1004, 1005; лёгкая пара  — 1000, 1004, тяжёлая  — 1002, 1005; лёгкая пара  — 1000, 1005, тяжёлая  — 1002, 1004. Сле­ду­ю­щи­ми двумя взве­ши­ва­ни­я­ми упо­ря­до­чим гири по весу в каж­дой паре. Четвёртым взве­ши­ва­ни­ем срав­ним более тяжёлые гири обеих пар, по­ло­жив на левую чашу гирю из тяжёлой пары. В пер­вом ва­ри­ан­те пе­ре­ве­сит левая чаша, в тре­тьем  — пра­вая, а во вто­ром весы по­ка­жут рав­но­ве­сие (на левой чаша 1005, на пра­вой  — 1004).

II спо­соб. По­ло­жим гирю A на левую чашу, а гирю B  — на пра­вую. Если рав­но­ве­сия нет, более тяжёлую гирю кладём на левую чашу и вто­рым взве­ши­ва­ни­ем срав­ни­ва­ем с C. Если снова нет рав­но­ве­сия, опять более тяжёлую гирю кладём на левую чашу и тре­тьим взве­ши­ва­ни­ем срав­ни­ва­ем с D. У нас в за­па­се оста­лось одно взве­ши­ва­ние. Если рав­но­ве­сие хоть раз было, более тяжёлая гиря в этом взве­ши­ва­нии весит 1005 г, дру­гая  — 1004 г, а две остав­ши­е­ся гири опре­де­ля­ют­ся ещё одним взве­ши­ва­ни­ем. Если рав­но­ве­сия ни разу не было, мы за­ве­до­мо нашли самую тяжёлую гирю (1005 г). Раз­берём слу­чаи, какая это гиря, и по­ка­жем, что в каж­дом из них мы уже знаем также гирю 1004 г (тогда остав­ши­е­ся две гири мы раз­ли­чим четвёртым взве­ши­ва­ни­ем).

1)  Это A. Она все три взве­ши­ва­ния была на левой чаше, зна­чит, один раз весы по­ка­за­ли бы «рав­но­ве­сие», а этот слу­чай разо­бран.

2)  Это B. Она два­жды была на левой чаше, по­это­му 1004 г может ве­сить толь­ко A.

3)  Это C. Тогда 1004 г весит гиря, «про­иг­рав­шая» C при вто­ром взве­ши­ва­нии (так как она более тяжёлая из A и B, а D не может ве­сить 1004 г).

4)  Это D. Тогда 1004 г весит самая тяжёлая гиря из трёх остав­ших­ся (она опре­де­ли­лась при вто­ром взве­ши­ва­нии).

Ответ: а) не может; б) может.