I спо­соб. Пер­вые три взве­ши­ва­ния такие: раз­би­ва­ем гири на две пары спо­со­бом, ко­то­рый ещё не встре­чал­ся, и срав­ни­ва­ем их. Раз­ных спо­со­бов как раз три. Мы по­лу­чим ра­вен­ство для пар 1001, 1005 и 1002, 1004. При этом толь­ко гиря 1001 в двух дру­гих взве­ши­ва­ни­ях была в «лёгкой» паре и толь­ко гиря 1005 в двух дру­гих взве­ши­ва­ни­ях была в «тяжёлой» паре  — так на­хо­дим их. Остав­ши­е­ся две гири 1002 и 1004 раз­ли­ча­ем четвёртым взве­ши­ва­ни­ем.

II спо­соб. Сна­ча­ла по­ло­жим на чаши по две гири.

1)  Одна из чаш пе­ре­ве­си­ла. Тогда гири раз­би­ва­ют­ся на две пары: лёгкую и тяжёлую. Есть два ва­ри­ан­та: лёгкая пара  — гири 1001, 1002, тя­же­лая  — 1004, 1005 или лёгкая пара  — 1001, 1004, тяжёлая  — 1002, 1005. Сле­ду­ю­щи­ми двумя взве­ши­ва­ни­я­ми упо­ря­до­чим гири по весу в каж­дой паре. Четвёртым взве­ши­ва­ни­ем, срав­нив более тя­же­лую гирю лёгкой пары с более лёгкой гирей тяжёлой пары, узна­ем, какой из ва­ри­ан­тов имеет место.

2)  Весы в рав­но­ве­сии. Тогда гири раз­би­ва­ют­ся на две пары рав­но­го веса: 1001, 1005 и 1002, 1004. Вто­рым и тре­тьим взве­ши­ва­ни­я­ми упо­ря­до­чим гири по весу в каж­дой паре. Четвёртым взве­ши­ва­ни­ем, срав­нив более лёгкие гири пар, узнаём, какая пара какая.

Ответ: может.