Начнём с того, что вы­чис­лим не­сколь­ко пер­вых чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти:

1)   по опре­де­ле­нию;

2)  

3)  

4)

Можно за­ме­тить, что ! для пер­вых пяти чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти (то есть для всех [0. .4]).

До­ка­жем ин­дук­ци­ей по n, что для всех

База ин­дук­ции, и уже рас­смот­ре­на выше (см. вы­чис­ле­ние пер­вых чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти).

Ин­дук­ци­он­ная ги­по­те­за: пусть для всех

Шаг ин­дук­ции:

Ответ: в со­от­вет­ствии с прин­ци­пом ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции, для всех