РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 66 Добавить в вариант

Найдите натуральное число n, ближайшее к 1022, сумма всех делителей которого (включая 1 и само это число) равна $2n минус 1.$

Решение.

Сумма делителей числа $n=2 в степени k$ равна

$1 плюс 2 плюс 2 в квадрате плюс ... плюс 2 в степени k =2 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка минус 1=2n минус 1.$

Ближайшее число вида $n=2 в степени k$ к 1022 это 1024. Остаётся проверить, что для 1023 соответствующее равенство не выполняется.

Ответ: 1024.