РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 21 № 63 Добавить в вариант

Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения высших порядков, Методы алгебры. Выделение полного квадрата, Методы алгебры. Замена переменной

Решите уравнение $левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 16 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 7x минус 6 правая круглая скобка =41.$

Решение. Перемножаемые трехчлены имеют одинаковые дискриминанты. Значит, модуль разности корней первого трехчлена равен модулю разности корней второго. Это позволяет с успехом применить определенную «центрирующую» замену:

$левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1,5 правая круглая скобка в квадрате минус 18,25 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3,5 правая круглая скобка в квадрате минус 18,25 правая круглая скобка =41.$

Замена $x=y минус 2,5.$ Тогда

$левая круглая скобка левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 18,25 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус 18,25 правая круглая скобка =41 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка левая круглая скобка y в квадрате минус 17,25 правая круглая скобка минус 2y правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка y в квадрате минус 17,25 правая круглая скобка плюс 2y правая круглая скобка =41 равносильно левая круглая скобка y в квадрате минус 17,25 правая круглая скобка в квадрате минус 4y в квадрате =41.$

Получившееся биквадратное уравнение решается затем стандартным образом.

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: минус 5\pm корень из: начало аргумента: 77 плюс 4 корень из: начало аргумента: 114 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: минус 5\pm корень из: начало аргумента: 77 минус 4 корень из: начало аргумента: 114 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

$левая фигурная скобка дробь: числитель: минус 5\pm корень из: начало аргумента: 77 плюс 4 корень из: начало аргумента: 114 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: минус 5\pm корень из: начало аргумента: 77 минус 4 корень из: начало аргумента: 114 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Олимпиада: Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций

Класс: 9

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2016

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	63	$левая фигурная скобка дробь: числитель: минус 5\pm корень из: начало аргумента: 77 плюс 4 корень из: начало аргумента: 114 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: минус 5\pm корень из: начало аргумента: 77 минус 4 корень из: начало аргумента: 114 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$