РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6242 Добавить в вариант

Число в семеричной системе счисления является трехзначным. В системе счисления с основанием 11 оно записывается теми же тремя цифрами, но в обратном порядке. Какова его запись в десятичной системе счисления (найдите все возможные значения)?

Спрятать решение

Решение.

Если в семеричной системе число записывается как $\overlinea b c=49 a плюс 7 b плюс c,$ то в системе счисления с основанием 11 оно равно $121 c плюс 11 b плюс a.$ Значит,

$49 a плюс 7 b плюс c=121 c плюс 11 b плюс a равносильно b=12 a минус 30 c=6 левая круглая скобка 2 a минус 5 c правая круглая скобка .$

Так как $b принадлежит левая квадратная скобка 0; 6 правая квадратная скобка ,$ то либо $b=6$ и $2 a минус 5 c=1$ (тогда $c=1,$ $a=3 правая круглая скобка ,$ либо $b=0$ и $2 a минус 5 c=0$ (тогда $c=2,$ $a=5 правая круглая скобка .$ В первом случае число равно

$361_7=3 умножить на 49 плюс 6 умножить на 7 плюс 1=190,$

во втором

$502_7=5 умножить на 49 плюс 0 умножить на 7 плюс 2=247.$

Ответ: 190 и 247.

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: числа. Различные системы счисления, Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Помощь