РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6238 Добавить в вариант

Найдите наименьшее натуральное число q, для которого существует такое целое число p, что уравнение $x в степени 4 плюс px плюс q=0$ имеет четыре корня, образующие арифметическую прогрессию.

Спрятать решение

Решение.

В силу того, что уравнение биквадратное, то его корни, образующие арифметическую прогрессию, имеют вид −3a, −a, a, 3a. То есть уравнение имеет вид

$x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 10 a в квадрате x в квадрате плюс 9 a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =0,$

где $p= минус 10 a в квадрате$ и $q=9 a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка .$ Так как $3|p|=10 корень из: начало аргумента: q конец аргумента ,$ то q  — полный квадрат, делящийся на 9.

Ответ: $q=9.$

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии, Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости, Задачи с параметрами. Уравнения высших порядков

Спрятать решение · Помощь