РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6197 Добавить в вариант

Найдите сумму $дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: z конец дроби ,$ если известно, что три различных действительных числа x, y и z удовлетворяют условиям:

$x в кубе плюс 1009=2018x, \quad y в кубе плюс 1009=2018y, \quad z в кубе плюс 1009=2018z.$

Спрятать решение

Решение.

Кубическое уравнение $t в кубе минус 2018 t плюс 1009=0$ имеет три различных действительных корня, так как для функции

$f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в кубе минус 2018 t плюс 1009$

выполняется $f левая круглая скобка минус 100 правая круглая скобка меньше 0,$ $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка больше 0,$ $f левая круглая скобка 20 правая круглая скобка меньше 0,$ $f левая круглая скобка 100 правая круглая скобка больше 0.$ Это корни и будут числами x, y и z. Поэтому по теореме Виета $x плюс y плюс z=0,$ $x y плюс y z плюс z x= минус 2018,$ $x y z= минус 1009 .$ Искомая сумма

$дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: z конец дроби = дробь: числитель: x y плюс y z плюс z x, знаменатель: x y z конец дроби = дробь: числитель: минус 2018, знаменатель: минус 1009 конец дроби =2.$

Ответ: 2.

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...), Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения высших порядков

Спрятать решение · Помощь