РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5720 Добавить в вариант

Докажите, что если действительные числа a₁, a₂, ..., a_n удовлетворяют неравенству

$a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n больше или равно корень из: начало аргумента: левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате _1 плюс a в квадрате _2 плюс ... плюс a в квадрате _n конец аргумента ,$

то все числа a₁, a₂, ..., a_n неотрицательны.

Спрятать решение

Решение.

1)  Докажем сначала, что для любого натурального k и произвольных действительных чисел a₁, ..., a_k справедливо неравенство

$левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_k правая круглая скобка в квадрате меньше или равно k левая круглая скобка a_1 в квадрате плюс a_2 в квадрате плюс \ldots плюс a_k в квадрате правая круглая скобка .$

Будем рассуждать по индукции. База индукции при $k=1$ очевидна. Сделаем шаг индукции. Пусть утверждение справедливо для k слагаемых. Докажем его для $k плюс 1$ слагаемого. Тогда

$N= левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_k плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_k правая круглая скобка в квадрате плюс a_k плюс 1 в квадрате плюс 2 a_k плюс 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_k правая круглая скобка .$

По предположению индукции в правой части последнего неравенства, Получим:

$N меньше или равно k левая круглая скобка a_1 в квадрате плюс a_2 в квадрате плюс \ldots плюс a_k в квадрате правая круглая скобка плюс a_k плюс 1 в квадрате плюс 2 a_k плюс 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_k правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a_1 в квадрате плюс a_2 в квадрате плюс \ldots плюс a_k в квадрате плюс a_k плюс 1 в квадрате правая круглая скобка минус a_1 в квадрате минус a_2 в квадрате минус \ldots минус a_k в квадрате минус с минус k a_k плюс 1 в квадрате плюс 2 a_1 a_k плюс 1 плюс 2 a_2 a_k плюс 1 плюс \ldots плюс 2 a_k a_k плюс 1=$
$= левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a_1 в квадрате плюс a_2 в квадрате плюс \ldots плюс a_k плюс 1 в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка a_1 минус a_k плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a_2 минус a_k плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус \ldots минус левая круглая скобка a_k минус a_k плюс 1 правая круглая скобка в квадрате .$

откуда и получается искомое неравенство.

2)  Теперь займемся утверждением из условия задачи. Оно опять же очевидно при $k=1.$ Для $k=n минус 1$ по доказанному в 1) имеем:

$\left|a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_n минус 1| меньше или равно корень из: начало аргумента: левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a_1 конец аргумента в квадрате плюс a_2 в квадрате плюс \ldots плюс a_n минус 1 в квадрате правая круглая скобка меньше или равно корень из: начало аргумента: левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a_1 конец аргумента в квадрате плюс a_2 в квадрате плюс \ldots плюс a_n в квадрате правая круглая скобка .$

Учитывая теперь неравенство из условия задачи, получим:

$a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_n минус 1 меньше или равно \left|a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_n минус 1| меньше или равно a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_n,$

откуда следует вытекает, что $a_n больше или равно 0.$ Теперь просто изменяя порядок нумерации чисел $a_i$ можно аналогично показать, что любое $a_i больше или равно 0.$

Многопрофильная олимпиада УрФУ для школьников Изумруд, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра. Неравенства с буквами, Методы алгебры. Метод математической индукции

Спрятать решение · Помощь