РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 5676 Добавить в вариант

При каких значениях параметра a корни уравнения $x в кубе плюс ax в квадрате плюс 56x минус 64=0$ составляют геометрическую прогрессию.

Спрятать решение

Решение.

Имеем:

$x в кубе плюс a x в квадрате плюс 56 x минус 64= левая круглая скобка x минус x_1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_3 правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус m правая круглая скобка левая круглая скобка x минус m q правая круглая скобка левая круглая скобка x минус m q в квадрате правая круглая скобка .$ $x в кубе плюс a x в квадрате плюс 56 x минус 64= левая круглая скобка x минус x_1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_3 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка x минус m правая круглая скобка левая круглая скобка x минус m q правая круглая скобка левая круглая скобка x минус m q в квадрате правая круглая скобка .$

Раскрываем скобки и сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

$x в кубе плюс a x в квадрате плюс 56 x минус 64= левая круглая скобка x в квадрате минус m x минус m q x плюс m в квадрате q правая круглая скобка левая круглая скобка x минус m q в квадрате правая круглая скобка =$
$=x в кубе минус m x в квадрате левая круглая скобка 1 плюс q правая круглая скобка плюс m в квадрате q x минус m q в квадрате x в квадрате плюс m в квадрате x левая круглая скобка 1 плюс q правая круглая скобка q в квадрате плюс m в кубе q в кубе =$
$= x в кубе минус x в квадрате m левая круглая скобка 1 плюс q плюс q в квадрате правая круглая скобка плюс x m в квадрате q левая круглая скобка 1 плюс q плюс q в квадрате правая круглая скобка плюс m в кубе q в кубе ,$ $x в кубе плюс a x в квадрате плюс 56 x минус 64=$
$= левая круглая скобка x в квадрате минус m x минус m q x плюс m в квадрате q правая круглая скобка левая круглая скобка x минус m q в квадрате правая круглая скобка =$
$=x в кубе минус m x в квадрате левая круглая скобка 1 плюс q правая круглая скобка плюс m в квадрате q x минус m q в квадрате x в квадрате плюс m в квадрате x левая круглая скобка 1 плюс q правая круглая скобка q в квадрате плюс m в кубе q в кубе =$
$= x в кубе минус x в квадрате m левая круглая скобка 1 плюс q плюс q в квадрате правая круглая скобка плюс x m в квадрате q левая круглая скобка 1 плюс q плюс q в квадрате правая круглая скобка плюс m в кубе q в кубе ,$

следовательно,

$система выражений m левая круглая скобка 1 плюс q плюс q в квадрате правая круглая скобка = минус a, m в квадрате q левая круглая скобка 1 плюс q плюс q в квадрате правая круглая скобка =50, m в кубе q в кубе =64 \Rightarrow m q=4. конец системы .$

Из 1 и 2 уравнений $m q= минус дробь: числитель: 56, знаменатель: a конец дроби ,$ но

$m q=4 \Rightarrow минус дробь: числитель: 56, знаменатель: a конец дроби =4 \Rightarrow a= минус 14.$

Ответ: −14.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Задача решена полностью с необходимыми пояснениями	10
Решение $a=\pm4 корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , \pm12 корень из 2 , минус 15, 25 , 22$	4
Без объяснений	3
Вывели $x_1 плюс x_2 плюс x_3= минус a$	0
Максимальный балл	10

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Уравнения высших порядков

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь