РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 559 Добавить в вариант

Найти все числа a и b такие, что парабола $y=ax в квадрате плюс bx плюс 1$ касается прямых $y=2x плюс 10$ и $y=2 минус 2x.$

Спрятать решение

Решение.

Если прямая $y=k x плюс m$ является касательной к параболе $y=a x в квадрате плюс b x плюс c,$ то они имеют единственную общую точку, следовательно, уравнение $a x в квадрате плюс b x плюс c=k x плюс m$ имеет ровно один корень. А это будет выполняться тогда и только тогда, когда дискриминант уравнения обращается в нуль. Поэтому, исходя из условия задачи, имеем систему уравнений:

$система выражений ax в квадрате плюс bx плюс 1=2x плюс 10,a x в квадрате плюс bx плюс 1=2 минус 2x конец системы .$

или

$система выражений ax в квадрате плюс левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка x минус 9=0,a x в квадрате плюс левая круглая скобка b плюс 2 правая круглая скобка x минус 1=0. конец системы .$

Вычисляя дискриминанты этих уравнений, будем иметь

$система выражений D_1= левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 36 a=0,D_1= левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 36 a=0. конец системы .$

Решая эту систему для определения значений a и b, находим, что $a_1= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , b_1= минус 1$ или $a_2= минус 1, b_2= минус 4.$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , минус 1 правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус 1, минус 4 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии	Баллы
Приведено обоснованное верное решение.	8
Получена только одна пара чисел a и b при обоснованном решении.	4

Олимпиада: Открытая олимпиада вузов Томской области

Класс: 11

Тур: 2 тур (заключительный)

Классификатор: Анализ. Графики функций, уравнений, неравенств

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь