РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 556 Добавить в вариант

Зная, что $0,698 меньше десятичный логарифм 5 меньше 0,699,$ определите, у скольких из чисел 1, 5, 25, ..., 5ⁿ, ..., 5¹⁰⁰ десятичная запись начинается с единицы.

Спрятать решение

Решение.

Десятичная запись числа $5 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка =10 в степени левая круглая скобка 100 десятичный логарифм 5 правая круглая скобка ,$ лежащего на отрезке $левая квадратная скобка 10 в степени левая круглая скобка 69,8 правая круглая скобка ;10 в степени левая круглая скобка 69,9 правая круглая скобка правая квадратная скобка ,$ состоит из 70 цифр и, вследствие неравенства 10^0,8 · 10⁶⁹ > 2 · 10⁶⁹, начинается не с единицы. Заметим, что при любом натуральном k среди k-значных чисел имеется ровно одна начинающаяся не с единицы степень пятёрки. Поэтому записи ровно 70 чисел из набора {1, 5, 25, ..., 5ⁿ, ..., 5¹⁰⁰} начинаются с цифр, отличных от единицы. С единиц же начинаются записи остальных 101 − 70 = 31 чисел.

Ответ: у 31 числа.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	14
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования. Ответ верный. ИЛИ Решение задачи, содержит верную общую схему решения, но в результате описки или арифметической ошибки получен неверный ответ.	±	10
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении, но не закончено. Отмечено, что при любом натуральном k среди k-значных чисел имеется ровно одна начинающаяся не с единицы степень пятёрки. ИЛИ Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования. Ответ неверный.	+/2	7
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. Ответ отсутствует или неверный. ИЛИ Ответ верный. Решение отсутствует или неверное.	∓	3
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: числа. Остатки и сравнения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь