РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 554 Добавить в вариант

Для чисел x, y, z, t из интервала $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$ выполняется равенство

$косинус 2x плюс косинус 2y плюс косинус 2z плюс косинус 2t = 4 левая круглая скобка косинус x косинус y косинус z косинус t минус синус x синус y синус z синус t правая круглая скобка .$

Докажите, что сумма некоторых двух из чисел x, y, z, t равна сумме двух остальных.

Спрятать решение

Решение.

Введем обозначения $p= косинус левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка ,q= косинус левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка ,r= косинус левая круглая скобка z минус t правая круглая скобка , косинус левая круглая скобка z плюс t правая круглая скобка .$ Используя формулы

$косинус альфа плюс косинус бета = 2 косинус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби ,$

$косинус альфа косинус бета = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка \alphha плюс бета правая круглая скобка правая круглая скобка ,$

$синус альфа синус бета = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка \alphha плюс бета правая круглая скобка правая круглая скобка ,$

получим равенство

$2pq плюс 2rs= левая круглая скобка p плюс q правая круглая скобка левая круглая скобка r плюс s правая круглая скобка минус левая круглая скобка p минус q правая круглая скобка левая круглая скобка r минус s правая круглая скобка ,$

которое преобразуется в равенство $левая круглая скобка p минус r правая круглая скобка левая круглая скобка q минус s правая круглая скобка =0.$ Итак, должно выполнятся хотя бы одно из равенств: p = r или q = s. В первом случае имеем

$|x минус y|=|z минус t| равносильно совокупность выражений x плюс t=y плюс z,x плюс z=y плюс t. конец совокупности .$

Во втором случае получаем, что $x плюс y=z плюс t.$

Таким образом, всегда сумма некоторых двух из чисел x, y, z, t равна сумме двух остальных.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	12
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования. ИЛИ Рассмотрены оба возможных случая (p = r и q = s) или представлено альтернативное решение, некоторые обоснования.	±	8
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Верно рассмотрен только один из возможных случаев (p = r и q = s).	+/2	6
Решение незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении.	∓	2
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические уравнения, Методы тригонометрии. Тригонометрическая замена, Методы тригонометрии. Формулы произведения, Методы тригонометрии. Формулы суммы и разности

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь