РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 551 Добавить в вариант

Длины диагоналей граней ABCD, ABB₁A₁ и ADD₁A₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁С₁D₁ выражаются различными целыми числами. Какой наименьшей может быть сумма этих чисел?

Спрятать решение

Решение.

Ни одна из рассматриваемых диагоналей не может иметь длину 1. Действительно, невозможно, равенство AB₁ = 1, поскольку в треугольнике AB₁D₁ (сторона B₁D₁ которого равна BD) должно выполняться неравенство

$AB_1 больше |AD_1 минус B_1D_1| больше или равно 1.$

Аналогично доказывается для диагоналей граней ABCD и ADD₁A₁. Таким образом, наименьшая длина одной из шести диагоналей рассматриваемых граней должна быть не меньше 2. Нетрудно установить существование параллелепипеда, у которого 6 диагоналей рассматриваемых граней равны 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Например, одновременного могут выполняться следующие равенства:

AB₁ = 2, AC = 4, AD₁ = 6, A₁B = 3, A₁D = 5, BD = 7.

Таким образом, наименьшая сумма длин граней ABCD, ABB₁A₁ и ADD₁A₁ равна 27.

Ответ: 27.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	10
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, но в результате описки/арифметической ошибки получен неверный ответ или не найдена искомая сумма при верно найденных длинах диагоналей. ИЛИ Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования. В частности, не показано, что параллелепипед с указанными длинами диагоналей существует. Ответ верный.	±	7
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Составлены верные соотношения для длин искомых диагоналей. Показано, что все диагонали должны иметь длину не меньше 2. Не обосновано даны правильные длины рассматриваемых диагоналей.	+/2	5
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. Показано, что все диагонали должны иметь длину не меньше 2. Не обосновано даны правильные длины рассматриваемых диагоналей. ИЛИ Ответ верный. Рассмотрен частный случай прямоугольного параллелепипеда.	∓	2
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Экстремальные задачи

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь