Пусть М — наименьшее множество чисел такое, что а) М содержит 1, б) если М содержит число x, то М обязательно содержит также числа 
Из каких в точности чисел состоит М?
С одной стороны понятно, что, если x — положительное рациональное число, то и оба числа 
— тоже рациональные и лежат в интервале 
поэтому минимальное множество М, состоящее только из чисел, получающихся из 1 последовательностями операций из пункта б) условия, содержит только рациональные числа из интервала 
Покажем, что любое рациональное число из интервала. 
лежит во множестве М. Для 1 это верно по условию, дальше рассматриваем только числа, меньшие 1. Любое такое число записывается правильной несократимой дробью 
для некоторой пары натуральных чисел 
Допустим, что все правильные дроби, сумма числителя и знаменателя которых меньше 
уже лежат в М. Для уравнений 
и 
находим решения 
и 
которые дают нам числа, из которых дробь может быть получена операцией б) из условия. Ровно одно из найденных решений является правильной дробью: при 
это 
а при 
— это 
В каждом случае найденное решение является правильной дробью из интервала сумма числителя и знаменателя которой меньше значит, уже лежащей во множестве М. Ввиду п. б) условия, тогда и дробь тоже лежит в М, что и требовалось доказать.
Ответ: их всех положительных рациональных чисел, не превосходящих 1.