РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5420 Добавить в вариант

Решите уравнение $e в степени левая круглая скобка 3x минус 3 правая круглая скобка минус 3e в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = корень из 3 .$

Спрятать решение

Решение.

Задачу сможет решить только тот, кто почувствует в левой части данного уравнения формулу косинуса тройного угла: сделав замену $e в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка =2 косинус \varphi,$ получим уравнение $косинус 3\varphi= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда $\varphi= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби .$ Поскольку $t_k= косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ,$ $k=0,1,2,$   — различные кубические уравнения $4t в кубе минус 3t= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ то других корней оно не имеет, а так как $t_1$ и $t_2$ отрицательны, то единственное решение данного уравнения  — это $x=1 плюс натуральный логарифм левая круглая скобка 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $левая фигурная скобка 1 плюс натуральный логарифм левая круглая скобка 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения показательные, Методы алгебры. Тригонометрическая замена

Спрятать решение · Помощь