РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 5384 Добавить в вариант

Классификатор: Анализ. Функциональные уравнения и неравенства

Функция f задана на всей прямой и такова, что $2f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка =3x в квадрате .$ Найдите $f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка .$

Решение. Приведем два различных решения. Первое:

$2f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка =3x в квадрате ,$

$2f левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате ,$

откуда, решая систему, получим, что $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате минус 2x минус 1$ и f $левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =34.$ Второе  — не совсем корректное (в чём?). Пусть $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ тогда

$2f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка =3ax в квадрате плюс левая круглая скобка b минус 2a правая круглая скобка x плюс a плюс b плюс 3c=3x в квадрате ,$

откуда $a=1,$ $b=2a=2$ и $c= минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка = минус 1.$

Ответ: $f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =34.$

5384

$f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =34.$

Классификатор: Анализ. Функциональные уравнения и неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	5384	$f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =34.$