РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5219 Добавить в вариант

Найти все ненулевые числа, в пять раз меньшие суммы всех своих цифр.

Решение.

Раз речь идет о сумме всех цифр, то искомые числа записываются конечными десятичными дробями. Обозначим произвольное искомое число за x, а сумму его цифр за S(x) тогда ... и $x= дробь: числитель: 2S левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: 10 конец дроби ,$ значит, x содержит не более одной цифры после запятой. Если $x= \overlinea, \dots b, c$ содержит не меньше двух цифр до запятой, то $x= \overlinea, \dots b, c больше или равно 10a$ и равенство невозможно. Остался случай $x= \overlinea, b =a плюс дробь: числитель: b, знаменатель: 10 конец дроби ,$ тогда ..., откуда $b=8a,$ значит, $a=1$ и $b=8.$

Ответ: 1,8 (одна целая восемь десятых).

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Замечено, что искомые числа записываются конечными десятичными дробями: 1 балл. Доказано, что x содержит не более одной цифры после запятой: 2 балла. Доказано, что x содержит не более одной цифры до запятой: 2 балла. Отыскание x в случае $x=\overlinea, b=a плюс дробь: числитель: b, знаменатель: 10 конец дроби :$ 2 балла. Только угадан верный ответ с проверкой: 1 балл.

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах, Алгебра: числа. Сумма цифр числа

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь