сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Обо­зна­чим через A(n) наи­боль­ший не­чет­ный де­ли­тель числа n. На­при­мер, A(21)  =  21, A(72)  =  9, A(64)  =  1. Най­ди­те сумму A(111) + A(112) + ... + A(218) + A(219).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Наи­боль­шие нечётные де­ли­те­ли ни­ка­ких двух из дан­ных чисел не могут сов­пасть, так как числа с оди­на­ко­вы­ми наи­боль­ши­ми нечётными де­ли­те­ля­ми либо равны, либо от­ли­ча­ют­ся ми­ни­мум в 2 раза. Зна­чит, наи­боль­шие нечётные де­ли­те­ли чисел 111, 112, ..., 218, 219 от­ли­ча­ют­ся друг от друга. По­лу­ча­ет­ся, что наи­боль­шие нечётные де­ли­те­ли чисел от n плюс 1 до 2 n есть n раз­лич­ных нечётных чисел, ко­то­рые не пре­вы­ша­ют 2 n. Сле­до­ва­тель­но, это числа 1, 3, 5, ..., 2n−1. Если к на­бо­ру чисел до­ба­вить число 220, то ис­ко­мая сумма будет равна

1 плюс 3 плюс 5 плюс \ldots плюс 219 минус A левая круг­лая скоб­ка 220 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 плюс 219, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 110 минус 55=110 в квад­ра­те минус 55=12 045.

Ответ: 12 045.


Аналоги к заданию № 4967: 4968 Все