сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Найти ра­ди­ус ци­лин­дра с наи­боль­шей пол­ной по­верх­но­стью, впи­сан­но­го в кру­го­вой конус вы­со­той 20 см и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 10 см.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой S=2 Пи r левая круг­лая скоб­ка r плюс h пра­вая круг­лая скоб­ка . Изоб­ра­зим осе­вое се­че­ние ци­лин­дра, впи­сан­но­го в конус. Обо­зна­чим вы­со­ту ци­лин­дра h, a ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра r.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков ABC и NBM по двум углам по­лу­чим

 дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: r конец дроби = дробь: чис­ли­тель: H, зна­ме­на­тель: H минус h конец дроби рав­но­силь­но h=H минус дробь: чис­ли­тель: r H, зна­ме­на­тель: R конец дроби

и

S левая круг­лая скоб­ка r пра­вая круг­лая скоб­ка =2 Пи r левая круг­лая скоб­ка H минус дробь: чис­ли­тель: r H, зна­ме­на­тель: R конец дроби плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка =2 Пи r левая круг­лая скоб­ка H плюс r левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: H, зна­ме­на­тель: R конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Не­об­хо­ди­мо по­до­брать такое зна­че­ние r, чтобы S была мак­си­маль­ной. Про­диф­фе­рен­ци­ру­ем это вы­ра­же­ние

S в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка r пра­вая круг­лая скоб­ка =2 Пи левая круг­лая скоб­ка H плюс 2 r левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: H, зна­ме­на­тель: R конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка ,

H плюс 2 r левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: H, зна­ме­на­тель: R конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 \Rightarrow r= дробь: чис­ли­тель: H R, зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка H минус R пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 20 умно­жить на 10, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 20 минус 10 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =10.

Убе­дим­ся, что най­ден мак­си­мум функ­ции про­вер­кой знака про­из­вод­ной при r мень­ше 10, S в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка r пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, S(r) воз­рас­та­ет; при r боль­ше 10, S в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка r пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, S(r) убы­ва­ет, зна­чит, S_\max левая круг­лая скоб­ка 10 пра­вая круг­лая скоб­ка =200 Пи .

 

Ответ: 200π.