Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Про функции p(x) и q(x) известно, что p(0) = q(0) > 0 и 
для любого 
Докажите, что если 
то 
Решение.
Спрятать критерии
Заметим, что 
поэтому для доказательства неравенства достаточно проверить, что функция 
возрастает на промежутке [0; 1]. Для этого докажем, что её производная на этом промежутке неотрицательна. Это можно сделать двумя способами.
Способ I. Подстановка. Получаем
поскольку 
как следует из условия, неотрицательно.
Способ II. Неравенство о средних. Имеем:
где неравенство следует из неравенства о средних для трёх чисел, а последнее равенство — из условия.