Для опре­де­лен­но­сти будем счи­тать, что пе­ше­ход вышел на про­гул­ку по коль­це­вой аллее про­тив ча­со­вой стрел­ки. В пунк­те A у ве­ло­си­пе­ди­ста есть три воз­мож­но­сти:

1)  по­ехать по аллее про­тив ча­со­вой стрел­ки;

2)  по­ехать по шоссе;

3)  по­ехать по аллее по ча­со­вой стрел­ке.

За 1 час про­гул­ки пе­ше­ход про­шел 6 ки­ло­мет­ров и не дошел до пунк­та B (целых 2π − 6 км!), по­это­му тре­тий ва­ри­ант точно доль­ше пер­во­го и его можно ис­клю­чить.

В пер­вом слу­чае дви­га­ясь по аллее они долж­ны будут пре­одо­леть рас­сто­я­ние 6 км и в слу­чае, если они будут дви­гать­ся нав­стре­чу друг другу, не­об­хо­ди­мое время равно ч.

Во вто­ром слу­чае при дви­же­нии нав­стре­чу друг другу через ч пе­ше­ход до­стиг­нет пунк­та B, а ве­ло­си­пе­дист ещё будет ехать по шоссе (по­сколь­ку Тогда ве­ло­си­пе­дист всё время до встре­чи будет ехать по шоссе и ско­рость сбли­же­ния пе­ше­хо­да и ве­ло­си­пе­ди­ста всё время будет со­став­лять  км/ч. Зна­чит, они встре­тят­ся через ч. Срав­ним числа, по­лу­чен­ные в 1 и 2 слу­ча­ях:

(пер­вое и тре­тье не­ра­вен­ство можно по­лу­чить, на­при­мер, де­ле­ни­ем в стол­бик). Сле­до­ва­тель­но, ответ до­сти­га­ет­ся во 2-м слу­чае.

Ответ: через ч.

Ком­мен­та­рий.

От­дель­ные участ­ни­ки по­ни­ма­ли усло­вие иначе, чем в при­ве­ден­ном ре­ше­нии: счи­та­ли, что пе­ше­ход и ве­ло­си­пе­дист встре­ти­лись через час и имен­но тогда пе­ше­ход по­про­сил со­се­да ве­ло­си­пе­ди­ста при­вез­ти ему ключи. По­сколь­ку в усло­вии явно не ска­за­но, где имен­но на­хо­дил­ся сосед, а при дру­гой трак­тов­ки усло­вия по­лу­ча­ет­ся в целом ана­ло­гич­ная за­да­ча (хотя и с не­сколь­ко более гро­мозд­ким вы­чис­ле­ни­ем) жюри при­ня­ло ре­ше­ние за­счи­ты­вать оба ва­ри­ан­та трак­тов­ки усло­вия. При­ведём план ре­ше­ния для вто­рой трак­тов­ки.

План ре­ше­ния вто­рой трак­тов­ки.

Для опре­де­лен­но­сти будем счи­тать, что пе­ше­ход вышел на про­гул­ку по коль­це­вой аллее про­тив ча­со­вой стрел­ки. За 1 час про­гул­ки пе­ше­ход про­шел 6 ки­ло­мет­ров и не дошел до пунк­та B целых км. Точку, где сей­час на­хо­дят­ся пе­ше­ход и ве­ло­си­пе­дист, назовём точ­кой C.

По­сколь­ку ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста в любом слу­чае боль­ше ско­ро­сти пе­ше­хо­да, то оп­ти­маль­ной стра­те­ги­ей будет

— ве­ло­си­пе­ди­сту мак­си­маль­но быст­ро до­е­хать до пунк­та A;

— в это время пе­ше­хо­ду идти «нав­стре­чу» ве­ло­си­пе­ди­сту, рас­счи­тав идти по шоссе или по аллее;

— ве­ло­си­пе­ди­сту и пе­ше­хо­ду про­дол­жить дви­гать­ся нав­стре­чу друг другу.

На­хо­дясь в пунк­те C у ве­ло­си­пе­ди­ста есть две воз­мож­но­сти: по­ехать по аллее по ча­со­вой стрел­ке или до­е­хать до пунк­та B и по­ехать по шоссе. В пер­вом слу­чае ве­ло­си­пе­дист за­тра­тит ч, а во вто­ром  — ч. Срав­ним эти два числа:

Итак, ве­ло­си­пе­дист по­едет в пункт A по шоссе. Пусть он за­тра­тит на эту по­езд­ку время t. Тогда пе­ше­ход за это время может прой­ти рас­сто­я­ние 6t. Если ве­ло­си­пе­дист и пе­ше­ход до­го­во­рят­ся встре­тить­ся на аллее, то тогда они смо­гут сде­лать это через ч; если же они до­го­во­рят­ся встре­тит­ся на шоссе, то  — через ч. Срав­ним эти два вре­ме­ни.

Итак, пе­ше­ход и ве­ло­си­пе­дист встре­тят­ся на шоссе, то есть через

Ответ: