Верхней целой частью числа x называют наименьшее целое число, большее или равное x. Докажите, что существует такое вещественное число A, что для любого натурального n расстояние от верхней целой части An до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2.
Пусть t — больший корень многочлена 
тогда 
Докажем по индукции, что число 
целое при любом целом неотрицательном n. Действительно, это верно при 
Кроме того,
что позволяет проделать шаг индукции.
Положим 
тогда
и 
значит, 
и есть верхняя целая часть 
а ближайший к ней квадрат целого числа равен 
Комментарий.
Несложно видеть, что можно взять в качестве t любое число, являющееся большим корнем многочлена вида 
где 
натуральное число, не меньшее 3. Действительно, как и в решении выше, сумма оказывается целой, откуда для 
следует утверждение задачи.
В этом решении мы увидели, что для взятых нами чисел t расстояние от степени tn до ближайшего целого стремится к нулю с ростом n. На самом деле чисел, степени которых становятся все ближе и ближе к целым числам, больше (но про остальные нельзя сказать, что они подходят для решения данной задачи!). А именно, пусть P(x) — приведенный многочлен с целыми коэффициентами, у которого все корни (в том числе комплексные), кроме одного, по модулю меньше 1. Тогда этот корень x1 вещественный, и расстояние от 
до ближайшего целого числа стремится к 0 с ростом n. Это следует из того, что сумма n-х степеней всех корней многочлена P целочисленно выражается через его коэффициенты и потому является целой. А степени всех остальных корней стремятся к 0 — как раз потому, что они по модулю меньше 1. Это рассуждение можно прочитать в статье А. Еrорова в «Кванте»; см. также проект «Дробные части степеней» на Летней конференции Турнира
Такие числа корни приведенного многочлена с целыми коэффициентами, у которого все остальные корни по модулю меньше 1, — называются числами Пизо или числами Пизо — Виджая-рагхавана. Они представляют интерес в связи с задачами диофантовой аппроксимации и изучались в работах Туэ, Харди, Пизо. Фрактал Рози (см. рис.) связан с числом Пизо — корнем кубического уравнения 
(и с соответствунщими подстановочными последовательностями. Свое название эти числа получили после публикации Шарля Пизо, который в своей диссертации открыл много замечательных свойств этих чисел.