сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

По­ло­жи­тель­ные числа a и b та­ко­вы, что a минус b= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: b конец дроби . Что боль­ше, a плюс b или ab?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим ис­ко­мое срав­не­ние  a b \vee a плюс b . Умно­жим его на ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: b конец дроби =a минус b (левую часть на левую, пра­вую на пра­вую). При умно­же­нии на по­ло­жи­тель­ное число (а  дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: b конец дроби по­ло­жи­тель­но) не­ра­вен­ство со­хра­нит­ся. По­лу­ча­ем  a в квад­ра­те \vee a в квад­ра­те минус b в квад­ра­те . От­сю­да ясно, что левая часть боль­ше пра­вой.

 

Ответ: a b боль­ше a плюс b.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Рас­смот­рим ис­ко­мое срав­не­ние  a b \vee a плюс b . При­ба­вим к нему ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: b конец дроби =a минус b, сведя к срав­не­нию  a b плюс дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: b конец дроби \vee 2 a . Пе­ре­не­ся все в левую часть, можно за­ме­тить, что оно рав­но­силь­но  дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: b конец дроби левая круг­лая скоб­ка b минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те \vee 0. Чтобы убе­дить­ся в том, что левая часть боль­ше, оста­лось по­ка­зать, что b не равно q 1.

Дей­стви­тель­но, пред­по­ло­жим, что b=1. Под­ста­нов­ка в ис­ход­ное ра­вен­ство дает a минус 1=a, про­ти­во­ре­чие.

 

При­ведём еще одно ре­ше­ние.

До­мно­жив ра­вен­ство a минус b= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: b конец дроби на b, по­лу­чим a b минус b в квад­ра­те =a, от­ку­да a b=a плюс b в квад­ра­те . Тогда до­ста­точ­но срав­нить a плюс b в квад­ра­те и a плюс b, то есть срав­нить b с 1. Пред­по­ло­жим, что b мень­ше или равно 1. Тогда  дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: b конец дроби боль­ше или равно a боль­ше a минус b, про­ти­во­ре­чие. Зна­чит, b боль­ше 1, от­ку­да a b=a плюс b в квад­ра­те боль­ше a плюс b.