Рас­смот­рим число N и по­сле­до­ва­тель­ность, ко­то­рую Глеб мог вы­пи­сать на доску. Ис­ход­ное число а обо­зна­чим через a₁, а все по­сле­ду­ю­щие через a₂, a₃, ..., a_n. Из усло­вия имеем при а также где через q_k обо­зна­че­ны не­пол­ные част­ные от де­ле­ний.

Мы хотим до­бить­ся вы­пол­не­ния не­ра­вен­ства

Как не­труд­но ви­деть, от­ку­да кроме того, Сле­до­ва­тель­но, до­ста­точ­но до­бить­ся вы­пол­не­ния не­ра­вен­ства

По­ка­жем, что су­ще­ству­ют такие из­на­чаль­ные числа N и a, что при всех вы­пол­не­но и Если это удаст­ся, то за­да­ча будет ре­ше­на, так как не­ра­вен­ство

как из­вест­но, верно при до­ста­точ­но боль­ших n (см. ком­мен­та­рий 1 в конце ре­ше­ния).

Итак, мы вы­бра­ли не­пол­ные част­ные, оста­лось найти под­хо­дя­щие N и a_k. За­ме­тим, что ра­вен­ство

до­пол­нен­ное не­ра­вен­ством эк­ви­ва­лент­но тому, что яв­ля­ет­ся остат­ком от де­ле­ния N на с не­пол­ным част­ным k.

Сна­ча­ла вы­бе­рем и Далее опре­де­лим все по фор­му­ле (1), на­чи­ная с конца. Часть из по­лу­чен­ных чисел, воз­мож­но, ока­жут­ся ра­ци­о­наль­ны­ми; од­на­ко, как легко ви­деть, если N и все a_k до­мно­жить на про­из­воль­ное число, ра­вен­ства (1) со­хра­нят­ся, как и усло­вие по­след­не­го де­ле­ния Про­сто до­мно­жим N и все a_k на их общий зна­ме­на­тель, и они ста­нут це­лы­ми. Оста­лось убе­дить­ся, что все a_k по­ло­жи­тель­ные и что

Для этого сна­ча­ла до­ка­жем ин­дук­ци­ей по k, что База оче­вид­на, так как Пусть мы до­ка­за­ли для до­ка­жем для k. Так как то а за­ме­няя на со­глас­но (1), по­лу­ча­ем ис­ко­мое Оста­лось за­ме­тить, что при и

Это за­вер­ша­ет до­ка­за­тель­ство того, что по­лу­чен­ная по­сле­до­ва­тель­ность ис­ко­мая.

Ответ: да, мог.

Ком­мен­та­рии.

1.  До­ка­жем, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го d можно вы­брать не­сколь­ко пер­вых чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти чтобы их сумма была боль­ше d. На­при­мер, можно взять пер­вые чисел. Дей­стви­тель­но, их можно раз­бить на 2d ча­стей: в пер­вой части число во вто­рой  — числа и в тре­тьей  — от до и т. д., то есть в m-й части числа от до Тогда для каж­до­го m от 1 до в m-ю часть по­па­дут чисел, и их сумма будет не менее по­это­му сумма всех чисел ока­жет­ся не менее d.

2.  Не­труд­но ви­деть, что не­пол­ные част­ные воз­рас­та­ют с ро­стом k, так как со­от­но­ше­ние

не может вы­пол­нять­ся при и Ана­ло­гич­но можно по­ка­зать, что самое по­след­нее част­ное хотя бы на 2 боль­ше пред­по­след­не­го. От­сю­да ясно, что ис­поль­зу­е­мая выше по­сле­до­ва­тель­ность q_k в не­ко­то­ром смыс­ле «ми­ни­маль­на».

3.  Можно по­ка­зать, что в ка­че­стве об­ще­го зна­ме­на­телл, на ко­то­рый мы до­мно­жа­ли по­лу­чен­ные в ре­ше­нии числа a_k, чтобы они стали це­лы­ми, можно было взять Тогда не­труд­но вы­чис­лить и