Несколько человек сыграли однокруговой турнир по настольному теннису. По окончании турнира оказалось, что для любых четырех участников найдутся двое, набравшие поровну очков в играх между этими четырьмя участками. Какое наибольшее количество теннисистов могло принимать участие в этом турнире? В настольном теннисе не бывает ничьих, за победу дается одно очко, за поражение — ноль очков.
(из материалов зарубежных олимпиад)
Пусть в турнире участвовало 
теннисистов. Тогда всего было сыграно 
партий и, значит, одержано побед. Тогда найдется участник, который одержал не меньше, чем 
побед. Поэтому какой-то участник одержал хотя бы 4 победы.
Назовем его Андреем. Рассмотрим тех, у кого он выиграл. Пусть это будут Боря, Вася, Гриша и Дима. В матчах между ними было сыграно 6 партий, поэтому кто-то из них одержал хотя бы две победы. Пусть для определенности это будет Боря и выиграл он у Васи и Гриши. Тогда рассмотрим четверку игроков Андрей, Боря, Вася и Гриша. Андрей в матчах между этими четырьмя игроками все матчи выиграл, поэтому набрал три очка, Боря выиграл ровно два матча, поэтому набрал два очка, победитель матча Васи с Гришей набрал одно, а проигравший очков не набрал.
Поэтому у них в матчах друг с другом набрано разное количество очков и, значит, такая четверка не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, игроков не больше семи.
Ответ: 7 теннисистов.