РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4394 Добавить в вариант

Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись квадрата которого оканчивается на 2016.

Решение.

Если квадрат некоторого натурального числа n оканчивается на 2016, то $n в квадрате =10 000 k плюс 2016$ при некотором натуральном k. Тогда

$n в квадрате минус 16= левая круглая скобка n минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 4 правая круглая скобка =10000 k плюс 2000=2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 в кубе умножить на левая круглая скобка 5 k плюс 1 правая круглая скобка .$

Числа $n минус 4$ и $n плюс 4$ не могут одновременно делиться на 5, так как их разность равна 8 и на 5 не делится. Следовательно, либо $n минус 4,$ либо $n плюс 4$ делится на 5³. Кроме того, оба числа четны и делятся на 4, иначе их произведение не делилось бы на 2⁴. Значит, хотя бы одно из этих чисел делится на $5 в кубе умножить на 4=500,$ то есть $n=500 m \pm 4,$ $n в квадрате =250000 m в квадрате \pm 4000 m плюс 16.$ Если $m=1,$ то n² оканчивается на 6016 или 4016. Если же $m=2$ и выбран знак «минус», то получаем число $n=996$   — наименьшее удовлетворяющее условию задачи, так как $996 в квадрате =992 016.$

Ответ: 996.

Московская олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Помощь