РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 4378 Добавить в вариант

Есть ли 2016-значное число, перестановкой цифр которого можно получить 2016 разных 2016-значных полных квадратов?

Спрятать решение

Решение.

Оценим число 2016-значных квадратов. Их не меньше, чем

$10 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 2016, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 10 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 2015, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 1 больше 10 в степени левая круглая скобка 1000 правая круглая скобка .$

Различных наборов из 2016 цифр не больше, чем наборов, в которых каждая цифра встречается не более 2016 раз, то есть $2017 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка .$ Значит, найдется такой набор из 2016 цифр, перестановками которых можно получить не менее, чем

$дробь: числитель: 10 в степени левая круглая скобка 1000 правая круглая скобка , знаменатель: 2017 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби больше дробь: числитель: 10 в степени левая круглая скобка 1000 правая круглая скобка , знаменатель: 10 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка конец дроби =10 в степени левая круглая скобка 900 правая круглая скобка$

квадратов, и уж тем более 2016.

Ответ: да, есть, перестановкой можно получить не менее, чем 10⁹⁰⁰ квадратов, и уж тем более 2016.

Приведём другое решение.

Предъявим такое 2016-значное число в явном виде. Рассмотрим все 1008-значные числа вида

$x_a, b=4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 1007 правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка a правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка b правая круглая скобка ,$

где $1007 больше a больше b больше или равно 0$ и $2 a не равно q 1007 плюс b .$ Заметим, что

$x_a, b в квадрате =16 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2014 правая круглая скобка плюс 8 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 1007 плюс a правая круглая скобка плюс 8 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 1007 плюс b правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка 2 a правая круглая скобка плюс 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка 2 b правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

В силу условия $1007 больше a больше b$ имеем неравенства

$2014 больше 1007 плюс a больше 1007 плюс b больше a плюс b больше 2 b,$ $2014 больше 1007 плюс a больше 2 a больше a плюс b больше 2 b .$

Из этих неравенств, а также из условия $2 a не равно q 1007 плюс b$ следует, что все слагаемые в правой части равенства (1) соответствуют разным цифрам числа $x_a, b в квадрате .$ Следовательно, для всех допустимых a, b число $x_a, b в квадрате$ состоит из фиксированного набора цифр: трех единиц, одной двойки, одной шестерки, двух восьмерок и 2009 нулей.

Bceго допустимых пар чисел a, b не меньше, чем

$дробь: числитель: 1007 умножить на 1006, знаменатель: 2 конец дроби минус 1007=1007 умножить на 502.$

Значит, из любого числа вида $x_a, b в квадрате$ перестановкой цифр можно получить $1007 умножить на 502 больше 2016$ разных 2016-значных полных квадратов.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Отдельных критериев не вводилось.

Московская олимпиада школьников, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь